24 juni 2021 8:30

Binominale optie prijsmodel

Wat is het prijsmodel voor binominale opties?

De binomiaal is een optie waarderingsmethode methode ontwikkeld in 1979. De vervaldatum.

Belangrijkste leerpunten

  • Het binominale prijsmodel voor opties waardeert opties met behulp van een iteratieve benadering waarbij meerdere perioden worden gebruikt om Amerikaanse opties te waarderen.
  • Met het model zijn er twee mogelijke uitkomsten bij elke iteratie: een beweging omhoog of omlaag die een binominale boom volgt.
  • Het model is intuïtief en wordt in de praktijk vaker gebruikt dan het bekende Black-Scholes-model.

Het model verkleint de mogelijkheden tot prijswijzigingen en neemt de mogelijkheid tot arbitrage weg. Een vereenvoudigd voorbeeld van een binominale structuur zou er ongeveer zo uit kunnen zien:

Basisprincipes van het binominale optieprijsmodel

Bij binominale optieprijsmodellen wordt ervan uitgegaan dat er twee mogelijke uitkomsten zijn – vandaar het binominale deel van het model. Met een prijsmodel zijn de twee uitkomsten een stijging of een daling. Het grote voordeel van een binominaal prijsmodel voor opties is dat ze wiskundig eenvoudig zijn. Toch kunnen deze modellen complex worden in een model met meerdere perioden.

In tegenstelling tot het Black-Scholes-model, dat een numeriek resultaat geeft op basis van inputs, biedt het binominale model de mogelijkheid om het activum te berekenen en de optie voor meerdere perioden samen met het bereik van mogelijke resultaten voor elke periode (zie hieronder).

Het voordeel van deze weergave met meerdere perioden is dat de gebruiker de verandering in activaprijs van periode tot periode kan visualiseren en de optie kan evalueren op basis van beslissingen die op verschillende tijdstippen zijn genomen. Voor een in de VS gevestigde  optie, die op elk moment vóór de expiratiedatum kan worden uitgeoefend , kan het binominale model inzicht geven in wanneer uitoefening van de optie wenselijk is en wanneer deze voor langere periodes moet worden aangehouden. 

Door naar de  binominale  waardenboom te kijken, kan een handelaar van tevoren bepalen wanneer een beslissing over een  oefening  kan plaatsvinden. Als de optie een positieve waarde heeft, is er de mogelijkheid om uit te oefenen, terwijl als de optie een waarde heeft die lager is dan nul, deze voor langere periodes moet worden aangehouden.

Prijs berekenen met het binominale model

De basismethode voor het berekenen van het binominale optiemodel is om elke periode dezelfde kans op succes en mislukking te gebruiken  totdat de optie afloopt. Een handelaar kan echter voor elke periode verschillende kansen opnemen op basis van nieuwe informatie die in de loop van de tijd wordt verkregen.

Een binominale structuur is een handig hulpmiddel bij het prijzen van  Amerikaanse opties  en  ingesloten opties. Zijn eenvoud is zijn voor- en nadeel tegelijk. De boom is eenvoudig mechanisch te modelleren, maar het probleem zit hem in de mogelijke waarden die de onderliggende waarde in een bepaalde periode kan aannemen. In een binominaal boommodel kan de onderliggende waarde slechts één van de twee mogelijke waarden waard zijn, wat niet realistisch is, aangezien activa een willekeurig aantal waarden binnen een bepaald bereik kunnen zijn.

Er kan bijvoorbeeld een kans van 50/50 zijn dat de onderliggende activaprijs in één periode met 30 procent kan stijgen of dalen. Voor de tweede periode kan de kans dat de onderliggende activaprijs zal stijgen echter toenemen tot 70/30.

Als een investeerder bijvoorbeeld een oliebron beoordeelt, weet die investeerder niet zeker wat de waarde van die oliebron is, maar is er een kans van 50/50 dat de prijs zal stijgen. Als  marktfundamenten nu wijzen op aanhoudende stijgingen van de olieprijzen, kan de kans op verdere prijsstijging nu 70 procent zijn. Het binominale model maakt deze flexibiliteit mogelijk; het Black-Scholes-model niet.

Voorbeeld uit de praktijk van een binominaal optieprijsmodel

Een vereenvoudigd voorbeeld van een binominale boom heeft maar één stap. Stel dat er een aandeel is met een prijs van $ 100 per aandeel. Over een maand zal de prijs van dit aandeel met $ 10 stijgen of dalen met $ 10, waardoor de volgende situatie ontstaat:

  • Aandelenprijs = $ 100
  • Aandelenkoers in één maand (up-state) = $ 110
  • Aandelenkoers in één maand (naar beneden) = $ 90

Stel vervolgens dat er een call-optie beschikbaar is op dit aandeel die binnen een maand vervalt en een uitoefenprijs heeft van $ 100. In de up-status is deze call-optie $ 10 waard, en in de down-status is hij $ 0 waard. Het binominale model kan berekenen wat de prijs van de call-optie vandaag zou moeten zijn.

Neem voor vereenvoudigingsdoeleinden aan dat een belegger de helft van de aandelen koopt en één calloptie schrijft of verkoopt. De totale investering vandaag is de prijs van een half aandeel verminderd met de prijs van de optie, en de mogelijke uitbetalingen aan het einde van de maand zijn:

  • Kosten vandaag = $ 50 – optieprijs
  • Portfoliowaarde (status omhoog) = $ 55 – max ($ 110 – $ 100, 0) = $ 45
  • Portfoliowaarde (status omlaag) = $ 45 – max ($ 90 – $ 100, 0) = $ 45

De uitbetaling van de portefeuille is gelijk, ongeacht hoe de aandelenkoers beweegt. Gezien deze uitkomst zou een belegger, ervan uitgaande dat er geen arbitragemogelijkheden zijn, in de loop van de maand de risicovrije rente moeten verdienen. De kosten van vandaag moeten gelijk zijn aan de uitbetaling die gedurende één maand tegen het risicovrije tarief wordt verdisconteerd. De op te lossen vergelijking is dus:

  • Optieprijs = $ 50 – $ 45 xe ^ (-risicovrije rente x T), waarbij e de wiskundige constante 2,7183 is.

Ervan uitgaande dat de risicovrije rente 3% per jaar is en T gelijk is aan 0,0833 (één gedeeld door 12), dan is de prijs van de call-optie vandaag $ 5,11.

Het binominale prijsmodel voor opties biedt twee voordelen voor verkopers van opties ten opzichte van het Black-Scholes-model. De eerste is de eenvoud, waardoor er minder fouten in de commerciële toepassing zijn. De tweede is de iteratieve werking, die de prijzen tijdig aanpast om de kans voor kopers om arbitragestrategieën uit te voeren, te verkleinen.

Omdat het bijvoorbeeld een stroom van waarderingen voor een derivaat voor elk knooppunt in een tijdsbestek oplevert, is het handig voor het waarderen van derivaten zoals Amerikaanse opties – die op elk moment tussen de aankoopdatum en de vervaldatum kunnen worden uitgevoerd. Het is ook veel eenvoudiger dan andere prijsmodellen, zoals het Black-Scholes-model.