Basisprincipes van de binominale distributie

Zelfs als je de binominale distributie niet bij naam kent en nooit een cursus statistiek voor gevorderden hebt gevolgd, begrijp je het van nature. Echt waar. Het is een manier om de waarschijnlijkheid in te schatten dat een afzonderlijke gebeurtenis plaatsvindt of niet plaatsvindt. En het heeft tal van toepassingen in de financiële wereld. Dit is hoe het werkt:

Je begint door iets te proberen – munten omdraaien, vrije worpen, draaien aan het roulettewiel, wat dan ook. De enige kwalificatie is dat het iets in kwestie precies twee mogelijke uitkomsten moet hebben. Succes of mislukking, dat is alles. (Ja, een roulettewiel heeft 38 mogelijke uitkomsten. Maar vanuit het standpunt van een gokker zijn er slechts twee. Je gaat winnen of verliezen.)

We zullen vrije worpen gebruiken voor ons voorbeeld, omdat ze iets interessanter zijn dan de exacte en onveranderlijke kans van 50% dat een munt landt. Stel dat je Dirk Nowitzki van de Dallas Mavericks bent, die 89,8% van zijn vrije worpen sloeg in het seizoen 2017-2018.  We noemen het 90% voor onze doeleinden. Als je hem nu aan de lijn zou zetten, wat is dan de kans dat hij (minstens) negen van de tien raakt?

Nee, ze zijn niet 100%. Noch zijn ze 90%.

Ze zijn 74%, geloof het of niet. Hier is de formule. We zijn allemaal volwassenen hier, je hoeft niet bang te zijn voor exponenten en Griekse letters:

 n is het aantal pogingen. In dit geval 10.

 i is het aantal successen, dat ofwel negen of tien is. We berekenen de kans voor elk en voegen ze vervolgens toe.

p is de kans op succes van elke individuele gebeurtenis, die 0,9 is.

De kans om het doel te bereiken, dat wil zeggen de binominale verdeling van successen en mislukkingen, is deze:

Corrigerende wiskundige notatie, als u de termen in die uitdrukking verder uitgesplitst wilt hebben:

(nik)=n!(n-ik)!ik!\ begin {uitgelijnd} & \ left (\ begin {matrix} n \\ i \ end {matrix} \ right) = \ frac {n!} {(ni)! i!} \ end {uitgelijnd}​(nik​)=(n-ik)!ik!

Dat is de “binominale” in binominale distributie: dat wil zeggen, twee termen. We zijn niet alleen geïnteresseerd in het aantal successen, noch alleen in het aantal pogingen, maar in beide. Elk is nutteloos voor ons zonder de ander.

Meer corrigerende wiskundige notatie:! is faculteit: een positief geheel getal vermenigvuldigen met elk kleiner positief geheel getal. Bijvoorbeeld,

Sluit de cijfers aan, denk eraan dat we zowel 9 van de 10 vrije worpen als 10 van de 10 moeten oplossen, en we krijgen

(10!9!1!