Het gebruik en de beperkingen van vluchtigheid
Beleggers richten zich graag op de belofte van hoge rendementen, maar moeten zich ook afvragen hoeveel risico ze moeten nemen in ruil voor deze rendementen. Hoewel we vaak in algemene zin over risico spreken, zijn er ook formele uitdrukkingen van de risico-beloningsrelatie.
De Sharpe-ratio meet bijvoorbeeld het overtollige rendement per eenheid risico, waarbij risico wordt berekend als volatiliteit, een traditionele en populaire risicomaatstaf. De statistische eigenschappen zijn bekend en het wordt gebruikt in verschillende kaders, zoals de moderne portefeuilletheorie en het Black-Scholes-model. In dit artikel onderzoeken we vluchtigheid om het gebruik en de limieten ervan te begrijpen.
Standaarddeviatie op jaarbasis
In tegenstelling tot de impliciete volatiliteit – die tot de prijsstellingstheorie van opties behoort en een toekomstgerichte schatting is op basis van een marktconsensus – kijkt reguliere volatiliteit achteruit. In het bijzonder is het de standaarddeviatie op jaarbasis van historische rendementen.
Traditionele risicokaders die afhankelijk zijn van standaarddeviatie, gaan er doorgaans van uit dat het rendement overeenkomt met een normale klokvormige verdeling. Normale verdelingen geven ons handige richtlijnen: ongeveer tweederde van de tijd (68,3%) moet het rendement binnen één standaarddeviatie (+/-) vallen; en in 95% van de gevallen zouden retouren binnen twee standaarddeviaties moeten vallen. Twee eigenschappen van een normale distributiegrafiek zijn magere “staarten” en perfecte symmetrie. Dunne staarten impliceren een zeer laag voorkomen (ongeveer 0,3% van de tijd) van rendementen die meer dan drie standaarddeviaties verwijderd zijn van het gemiddelde. Symmetrie houdt in dat de frequentie en omvang van opwaartse winsten een spiegelbeeld zijn van neerwaartse verliezen.
Bijgevolg behandelen traditionele modellen alle onzekerheid als risico, ongeacht de richting. Zoals veel mensen hebben aangetoond, is dat een probleem als het rendement niet symmetrisch is – beleggers maken zich zorgen over hun verliezen “links” van het gemiddelde, maar ze maken zich geen zorgen over winsten rechts van het gemiddelde.
We illustreren deze gril hieronder met twee fictieve aandelen. Het dalende aandeel (blauwe lijn) is volkomen zonder spreiding en produceert daarom een vluchtigheid van nul, maar het stijgende aandeel – omdat het verschillende opwaartse schokken vertoont maar geen enkele daling – produceert een vluchtigheid (standaarddeviatie) van 10%.
Theoretische eigenschappen
Als we bijvoorbeeld de volatiliteit voor de S&P 500-index op 31 januari 2004 berekenen, komen we ergens tussen de 14,7% en 21,1%. Waarom zo’n assortiment? Omdat we zowel een interval als een historische periode moeten kiezen. Met betrekking tot het interval kunnen we een reeks maandelijkse, wekelijkse of dagelijkse (zelfs intra-dagelijkse) aangiften verzamelen. En onze reeks aangiften kan zich uitstrekken over een historische periode van elke lengte, zoals drie jaar, vijf jaar of tien jaar. Hieronder hebben we de standaarddeviatie van rendementen voor de S&P 500 berekend over een periode van 10 jaar, met behulp van drie verschillende intervallen:
Merk op dat de volatiliteit toeneemt naarmate het interval toeneemt, maar lang niet in verhouding: het wekelijkse bedrag is bijna vijf keer het dagelijkse bedrag en maandelijks is het bijna vier keer het wekelijkse. We zijn aangekomen bij een belangrijk aspect van de random walk-theorie : standaarddeviatieschalen (verhogingen) in verhouding tot de vierkantswortel van de tijd. Daarom, als de dagelijkse standaarddeviatie 1,1% is, en als er 250 handelsdagen in een jaar zijn, is de geannualiseerde standaarddeviatie de dagelijkse standaarddeviatie van 1,1% vermenigvuldigd met de vierkantswortel van 250 (1,1% x 15,8 = 18,1%). Dit wetende, kunnen we de standaarddeviaties van het interval voor de S&P 500 op jaarbasis berekenen door te vermenigvuldigen met de vierkantswortel van het aantal intervallen in een jaar:
Een andere theoretische eigenschap van volatiliteit kan u wel of niet verbazen: het erodeert het rendement. Dit komt door de belangrijkste aanname van het random walk-idee: dat rendementen worden uitgedrukt in percentages. Stel je voor dat je begint met $ 100 en dan 10% wint om $ 110 te krijgen. Dan verlies je 10%, wat je $ 99 oplevert ($ 110 x 90% = $ 99). Dan win je weer 10% om $ 108,90 netto te krijgen ($ 99 x 110% = $ 108,9). Ten slotte verlies je 10% tot $ 98,01 netto. Het is misschien contra-intuïtief, maar je hoofdsom wordt langzaam uitgehold, ook al is je gemiddelde winst 0%!
Als u bijvoorbeeld een gemiddelde jaarlijkse winst van 10% per jaar verwacht (dwz rekenkundig gemiddelde), blijkt dat uw verwachte langetermijnwinst iets minder is dan 10% per jaar. In feite wordt het verminderd met ongeveer de helft van de variantie (waarbij variantie de standaarddeviatie in het kwadraat is). In het pure hypothetische hieronder beginnen we met $ 100 en stellen we ons vervolgens vijf jaar volatiliteit voor om te eindigen met $ 157:
Verloopt het rendement goed? Het theoretisch kader is ongetwijfeld elegant, maar het hangt af van goed opgevoede opbrengsten. Namelijk een normale verdeling en een willekeurige wandeling (dwz onafhankelijkheid van de ene periode naar de andere). Hoe verhoudt dit zich tot de werkelijkheid? We hebben de afgelopen 10 jaar dagelijkse aangiften verzameld voor de S&P 500 en Nasdaq hieronder (ongeveer 2500 dagelijkse waarnemingen):
Zoals u mag verwachten, is de volatiliteit van Nasdaq (standaarddeviatie op jaarbasis van 28,8%) groter dan de volatiliteit van de S&P 500 (standaarddeviatie op jaarbasis van 18,1%). We kunnen twee verschillen waarnemen tussen de normale verdeling en het werkelijke rendement. Ten eerste hebben de werkelijke opbrengsten hogere pieken – wat betekent dat de opbrengsten in de buurt van het gemiddelde overheersen. Ten tweede hebben de daadwerkelijke opbrengsten dikkere staarten. (Onze bevindingen komen enigszins overeen met meer uitgebreide academische studies, die ook de neiging hebben om hoge pieken en dikke staarten te vinden; de technische term hiervoor is kurtosis ). Laten we zeggen dat we minus drie standaarddeviaties als een groot verlies beschouwen: de S&P 500 ervoer een dagelijks verlies van minus drie standaarddeviaties in ongeveer -3,4% van de tijd. De normale curve voorspelt dat een dergelijk verlies in 10 jaar ongeveer drie keer zou optreden, maar het is in feite 14 keer gebeurd!
Dit zijn verdelingen van afzonderlijke intervalrendementen, maar wat zegt de theorie over rendementen in de tijd? Laten we als test eens kijken naar de daadwerkelijke dagelijkse distributies van de S&P 500 hierboven. In dit geval was het gemiddelde jaarlijkse rendement (over de afgelopen 10 jaar) ongeveer 10,6% en, zoals besproken, was de volatiliteit op jaarbasis 18,1%. Hier voeren we een hypothetische proef uit door te beginnen met $ 100 en deze gedurende 10 jaar vast te houden, maar we stellen de investering elk jaar bloot aan een willekeurige uitkomst van gemiddeld 10,6% met een standaarddeviatie van 18,1%. Deze proef is 500 keer gedaan, waardoor het een zogenaamde Monte Carlo-simulatie is. De uiteindelijke prijsuitkomsten van 500 proeven worden hieronder weergegeven:
Een normale verdeling wordt alleen als achtergrond getoond om de zeer niet-normale prijsresultaten te benadrukken. Technisch gezien zijn de uiteindelijke prijsresultaten lognormaal (wat betekent dat als de x-as zou worden geconverteerd naar de natuurlijke log van x, de verdeling er normaler zou uitzien). Het punt is dat verschillende prijsuitkomsten helemaal naar rechts zijn: van de 500 proeven leverden zes uitkomsten een resultaat van $ 700 op aan het einde van de periode! Met deze zeer weinige resultaten werd in 10 jaar tijd gemiddeld meer dan 20% per jaar verdiend. Aan de linkerkant, omdat een dalend saldo de cumulatieve effecten van procentuele verliezen vermindert, kregen we slechts een handvol eindresultaten die minder dan $ 50 waren. Om een moeilijk idee samen te vatten, kunnen we zeggen dat intervalrendementen – uitgedrukt in procenten – normaal verdeeld zijn, maar dat de uiteindelijke prijsuitkomsten log-normaal verdeeld zijn.
Ten slotte is een andere bevinding van onze onderzoeken consistent met de “erosie-effecten” van volatiliteit: als uw investering elk jaar precies het gemiddelde verdient, zou u aan het eind ongeveer $ 273 aanhouden (10,6% verergerd over 10 jaar). Maar in dit experiment lag onze totale verwachte winst dichter bij $ 250. Met andere woorden, de gemiddelde (rekenkundige) jaarlijkse winst was 10,6%, maar de cumulatieve (geometrische) winst was minder.
Het is van cruciaal belang om in gedachten te houden dat onze simulatie uitgaat van een willekeurige wandeling: het gaat ervan uit dat de terugkeer van de ene periode naar de andere volledig onafhankelijk is. We hebben dat op geen enkele manier bewezen, en het is geen triviale veronderstelling. Als u denkt dat het rendement de trends volgt, zegt u technisch gezien dat ze een positieve seriële correlatie vertonen. Als je denkt dat ze terugkeren naar het gemiddelde, dan zeg je technisch gezien dat ze een negatieve seriële correlatie vertonen. Geen van beide standpunten is consistent met onafhankelijkheid.
De Bottom Line Volatility is de standaarddeviatie van rendementen op jaarbasis. In het traditionele theoretische kader meet het niet alleen het risico, maar beïnvloedt het ook de verwachting van langetermijnrendementen (meerdere perioden). Als zodanig vraagt het ons om de dubieuze veronderstellingen te accepteren dat intervalrendementen normaal verdeeld en onafhankelijk zijn. Als deze aannames waar zijn, is een hoge volatiliteit een tweesnijdend zwaard: het erodeert je verwachte langetermijnrendement (het verlaagt het rekenkundig gemiddelde tot het meetkundig gemiddelde), maar het geeft je ook meer kansen om een paar grote winsten te behalen.