Toevoegingsregel voor definitie van waarschijnlijkheden
Wat is de optelregel voor kansen?
De optelregel voor kansen beschrijft twee formules, één voor de waarschijnlijkheid dat een van twee elkaar uitsluitende gebeurtenissen plaatsvindt en de andere voor de waarschijnlijkheid dat twee niet-wederzijds exclusieve gebeurtenissen plaatsvinden.
De eerste formule is slechts de som van de kansen van de twee gebeurtenissen. De tweede formule is de som van de kansen van de twee gebeurtenissen minus de kans dat beide zullen plaatsvinden.
Belangrijkste leerpunten
- De optelregel voor waarschijnlijkheden bestaat uit twee regels of formules, met één die plaats biedt aan twee elkaar uitsluitende gebeurtenissen en een andere die plaats biedt aan twee niet-wederzijds uitsluitende gebeurtenissen.
- Niet-wederzijds exclusief betekent dat er enige overlap bestaat tussen de twee gebeurtenissen in kwestie en de formule compenseert dit door de kans op de overlapping, P (Y en Z), af te trekken van de som van de kansen op Y en Z.
- In theorie is de eerste vorm van de regel een speciaal geval van de tweede vorm.
De formules voor de optelregels voor kansen is
Wiskundig gezien wordt de kans op twee elkaar uitsluitende gebeurtenissen aangegeven door:
Wiskundig gezien wordt de kans op twee niet-elkaar uitsluitende gebeurtenissen aangegeven door:
P.(Y or Z)=P.(Y)+P.(Z)-P.(Y eennd Z)P (Y \ text {of} Z) = P (Y) + P (Z) – P (Y \ text {en} Z)P(Y of Z)=P(Y)+P(Z)-P(Y en Z)
Wat zegt de toevoegingsregel voor waarschijnlijkheden u?
Om de eerste regel in de optelregel voor kansen te illustreren, overweeg dan een dobbelsteen met zes zijden en de kans om een 3 of een 6 te gooien. Aangezien de kans om een 3 te gooien 1 op 6 is en de kans om een 6 te gooien ook 1 op 6, de kans om een 3 of een 6 te rollen is:
1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Beschouw ter illustratie van de tweede regel eens een klas met negen jongens en elf meisjes. Aan het einde van het semester krijgen 5 meisjes en 4 jongens het cijfer B. Als een leerling bij toeval wordt geselecteerd, wat is dan de kans dat de leerling een meisje of een B-leerling wordt? Aangezien de kans om een meisje te selecteren 11 op 20 is, is de kans om een B-student te selecteren 9 op 20 en de kans om een meisje te selecteren dat een B-student is 5/20, is de kans dat je een meisje of een B-student kiest zijn:
11/20 + 9/20 – 5/20 = 15/20 = 3/4
In werkelijkheid zijn de twee regels vereenvoudigd tot slechts één regel, de tweede. Dat komt omdat in het eerste geval de kans dat twee elkaar uitsluitende gebeurtenissen beide plaatsvinden 0 is. In het voorbeeld met de dobbelsteen is het onmogelijk om zowel een 3 als een 6 te gooien bij één worp van een enkele dobbelsteen. De twee evenementen sluiten elkaar dus uit.
Wederzijdse exclusiviteit
Wederzijds exclusief is een statistische term die twee of meer gebeurtenissen beschrijft die niet kunnen samenvallen. Het wordt vaak gebruikt om een situatie te beschrijven waarin het optreden van de ene uitkomst de andere vervangt. Beschouw voor een eenvoudig voorbeeld het werpen van dobbelstenen. Je kunt niet tegelijkertijd een vijf en een drie gooien met één dobbelsteen. Bovendien heeft het krijgen van een drie op een eerste worp geen invloed op het feit of een volgende worp al dan niet een vijf oplevert. Alle worpen met een dobbelsteen zijn onafhankelijke gebeurtenissen.