Doorlopende samengestelde rente
Samengestelde rente is rente die wordt berekend over de initiële hoofdsom en ook over de opgebouwde rente van voorgaande perioden van een deposito of lening. Het effect van samengestelde rente is afhankelijk van de frequentie.
Ga uit van een jaarlijkse rente van 12%. Als we het jaar beginnen met $ 100 en slechts één keer samengesteld, aan het einde van het jaar, groeit de hoofdsom naar $ 112 ($ 100 x 1,12 = $ 112). Rente die alleen op het principe wordt toegepast, wordt enkelvoudige rente genoemd. Als we in plaats daarvan elke maand samenstellen tegen 1%, eindigen we aan het einde van het jaar met meer dan $ 112. Dat wil zeggen, $ 100 x 1,01 ^ 12 is gelijk aan $ 112,68. (Het is hoger omdat we vaker gecompoundeerd zijn.)
Continu samengesteld levert het vaakst samengestelde op. Continue samengestelde rente is de wiskundige limiet die samengestelde rente kan bereiken. Het is een extreem geval van samenstellen, aangezien de meeste rente wordt samengesteld op maand, kwartaal- of halfjaarlijkse basis.
Belangrijkste leerpunten
- Enkelvoudige rente wordt alleen toegepast op het principe en niet op opgebouwde rente.
- Samengestelde rente is rente die op basis van het principe en eerder toegepaste rente wordt opgebouwd.
- Het effect van samengestelde rente hangt af van hoe vaak het wordt toegepast.
- Voor obligaties is het equivalente obligatierendement het verwachte jaarlijkse rendement.
- Voortdurend samengestelde opbrengsten schaal over meerdere perioden.
- Rentevergroting met de hoogste frequentie zou continu worden samengesteld.
Halfjaarlijks rendement
Laten we eerst eens kijken naar een mogelijk verwarrende obligatie-equivalent rendement (of obligatie-equivalent basis). Dit betekent dat als een obligatie halfjaarlijks 6% oplevert, het gelijkwaardige obligatierendement 12% is.
De halfjaarlijkse opbrengst wordt simpelweg verdubbeld. Dit is mogelijk verwarrend omdat het effectieve rendement van een obligatie-equivalent rendement van 12% 12,36% is (dwz 1,06 ^ 2 = 1,1236). Verdubbeling van het halfjaarlijkse rendement is slechts een naamgevingsconventie voor obligaties. Als we daarom lezen over een obligatie van 8% die halfjaarlijks wordt samengesteld, nemen we aan dat dit verwijst naar een halfjaarlijks rendement van 4%.
Driemaandelijkse, maandelijkse en dagelijkse rendementspercentages
Laten we het nu hebben over hogere frequenties. We gaan nog steeds uit van een marktrente van 12% op jaarbasis. Volgens de naamgevingsconventies van obligaties impliceert dat een halfjaarlijks samengesteld tarief van 6%. We kunnen nu het samengestelde kwartaaltarief uitdrukken als functie van de marktrente.
Gegeven een jaarlijkse marktrente ( r), wordt de driemaandelijkse samengestelde rente ( r q ) gegeven door:
Dus voor ons voorbeeld, waar het jaarlijkse marktrente 12% is, is het driemaandelijkse samengestelde tarief 11,825%:
rq=4
rq=4[(2
Een vergelijkbare logica is van toepassing op maandelijkse samenstellingen. De maandelijkse samengestelde rente ( r m ) wordt hier gegeven als functie van de jaarlijkse marktrente ( r):
De dagelijkse samengestelde rente ( d) als functie van de marktrente ( r) wordt gegeven door:
rd=360
rd=360[(2
Hoe continu samenstellen werkt
Als we de samengestelde frequentie tot zijn limiet verhogen, zijn we continu aan het samenstellen. Hoewel dit misschien niet praktisch is, biedt de continu samengestelde rente wonderbaarlijk handige eigenschappen. Het blijkt dat de continu samengestelde rente wordt gegeven door:
Met kleinere tijdsintervallen is het bedrag aan rente dat wordt verdiend oneindig klein.
Ln () is de natuurlijke log en in ons voorbeeld is de continu samengestelde snelheid daarom:
rcOntiknuOus=ln(1+0.12)=ln(1.12)≅11.33%\ begin {uitgelijnd} & r_ {continu} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) \ cong 11.33 \% \\ \ end {uitgelijnd}rcontinuous=ln(1+0.12)=ln(1.12)≅11.33%
We komen op dezelfde plaats door de natuurlijke log van deze verhouding te nemen: de eindwaarde gedeeld door de beginwaarde.
rcOntiknuOus=ln(ValueEndValueStart)=ln(112100)≅11.33%\ begin {uitgelijnd} & r_ {continu} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Value} _ \ text {End}} {\ text {Value} _ \ text {Start}} \ right) = \ ln \ left (\ frac {112} {100} \ right) \ cong 11.33 \% \\ \ end {uitgelijnd}rcontinuous=ln(WaardeBegin
Dit laatste is gebruikelijk bij het berekenen van het continu samengestelde rendement voor een aandeel. Als het aandeel bijvoorbeeld van $ 10 op een dag naar $ 11 op de volgende dag springt, wordt het continu samengestelde dagelijkse rendement gegeven door:
rcOntiknuOus=ln(ValueEndValueStart)=ln($11$10)≅9.53%\ begin {uitgelijnd} & r_ {continu} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Value} _ \ text {End}} {\ text {Value} _ \ text {Start}} \ right) = \ ln \ left (\ frac {\ $ 11} {\ $ 10} \ right) \ cong 9.53 \% \\ \ end {uitgelijnd}rcontinuous=ln(WaardeBegin
Wat is er zo geweldig aan het continu samengestelde tarief (of rendement) dat we zullen aangeven met r c? Ten eerste is het eenvoudig om het naar voren te schalen. Gegeven een principe van (P), wordt ons uiteindelijke vermogen over (n) jaar gegeven door:
w=P.ercn\ begin {uitgelijnd} & w = Pe ^ {r_c n} \\ \ eind {uitgelijnd}w=Percn
Merk op dat e de exponentiële functie is. Als we bijvoorbeeld beginnen met $ 100 en continu worden samengesteld tegen 8% gedurende drie jaar, wordt het uiteindelijke vermogen gegeven door:
w=$100e(0.08)(3)=$127.12\ begin {uitgelijnd} & w = \ $ 100e ^ {(0.08) (3)} = \ $ 127.12 \\ \ end {uitgelijnd}w=$100e(0.08)(3)=$127.12
Discontering naar de huidige waarde (PV) is slechts omgekeerd, dus de contante waarde van een toekomstige waarde (F) die continu wordt samengesteld met een snelheid van ( r c ) wordt gegeven door:
PV of F received in (n) years=F.ercn=F.e-rcn\ begin {uitgelijnd} & \ text {PV van F ontvangen in (n) jaar} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ { -r_c n} \\ \ end {uitgelijnd}PV van F ontvangen in (n) jaar=ercn
Als u bijvoorbeeld binnen drie jaar $ 100 ontvangt onder een doorlopend tarief van 6%, wordt de huidige waarde gegeven door:
PV=F.e-rcn=($100)e-(0.06)(3)=$100e-0.18≅$83.53\ begin {uitgelijnd} & \ text {PV} = Fe ^ { -r_c n} = (\ $ 100) e ^ { – (0.06) (3)} = \ $ 100 e ^ { -0.18} \ cong \ $ 83.53 \\ \ end {uitgelijnd}PV=Fe-rcn=($100)e-(0.06)(3)=$100e-0.18≅$83.53
Schalen over meerdere perioden
De handige eigenschap van de continu samengestelde rendementen is dat het over meerdere perioden wordt geschaald. Is het rendement over de eerste periode 4% en het rendement over de tweede periode 3%, dan is het rendement over twee perioden 7%. Stel dat we het jaar beginnen met $ 100, die aan het einde van het eerste jaar uitgroeit tot $ 120 en vervolgens $ 150 aan het einde van het tweede jaar. De continu samengestelde rendementen zijn respectievelijk 18,23% en 22,31%.
ln(120100)≅18.23%\ begin {uitgelijnd} & \ ln \ left (\ frac {120} {100} \ right) \ cong 18.23 \% \\ \ end {uitgelijnd}ln(100
ln(150120)≅22.31%\ begin {uitgelijnd} & \ ln \ left (\ frac {150} {120} \ right) \ cong 22.31 \% \\ \ end {uitgelijnd}ln(120
Als we deze gewoon bij elkaar optellen, krijgen we 40,55%. Dit is het rendement over twee perioden:
ln(150100)≅40.55%\ begin {uitgelijnd} & \ ln \ left (\ frac {150} {100} \ right) \ cong 40.55 \% \\ \ end {uitgelijnd}ln(100
Technisch gezien is het continue rendement consistent in de tijd. Tijdconsistentie is een technische willekeurige variabele is, we willen dat willekeurige variabelen met meerdere perioden ook normaal worden verdeeld. Bovendien wordt het continu samengestelde rendement met meerdere perioden normaal verdeeld (in tegenstelling tot bijvoorbeeld een eenvoudig percentage).
Veelgestelde vragen over continu samenstellen
Wat houdt het in om voortdurend te zijn samengesteld?
Continu worden samengesteld betekent dat er geen limiet is aan hoe vaak rente kan worden samengesteld. Continu samenstellen kan een oneindig aantal keren voorkomen, wat betekent dat een saldo te allen tijde rente oplevert.
Betekent continu samengesteld dagelijks dagelijks?
Continu samengesteld betekent dat de rente elk moment wordt verhoogd, zelfs in de kleinst meetbare tijdsperiode. Daarom komt continu samengesteld vaker voor dan dagelijks.
Waarom wordt continue compounding gebruikt?
Continu samenstellen wordt gebruikt om te laten zien hoeveel een saldo kan verdienen wanneer er constant rente wordt opgebouwd. Voor beleggers kunnen ze berekenen hoeveel ze verwachten te ontvangen van een investering die een continu samengestelde rente oplevert.
Wat is het verschil tussen discrete en continue samenstelling?
Bij discrete samenstel- ling wordt rente toegepast op specifieke tijdstippen, zoals dagelijks, maandelijks, driemaandelijks of jaarlijks. Discrete compounding definieert expliciet de tijd waarin rente wordt toegepast. Continu samenstellen past continu rente toe, op elk moment in de tijd.
Wat is het verschil tussen jaarlijks en continu samenstellen?
Jaarlijks samenstellen betekent dat rente wordt toegepast op het principe en de eerder opgebouwde rente jaarlijks; terwijl continu samenstellen betekent dat rente wordt toegepast op het principe en de opgebouwde rente op elk moment. Er is geen fractie van de tijd dat er geen rente wordt toegepast bij continue bereiding.
Het komt neer op
We kunnen jaarlijkse rentetarieven herformuleren in halfjaarlijkse, driemaandelijkse, maandelijkse of dagelijkse rentetarieven (of rendementspercentages). De meest voorkomende compounding is continue compounding, waarvoor we een natuurlijke log en een exponentiële functie moeten gebruiken, die vaak in de financiële wereld worden gebruikt vanwege de gewenste eigenschappen. Door continu samen te stellen, wordt schaal gemakkelijk over meerdere perioden geretourneerd en is tijd consistent.