Speltheorie: verder dan de basis

Met behulp van speltheorie kunnen realistische scenario’s voor situaties als prijsconcurrentie en productreleases (en nog veel meer) worden opgesteld en kunnen de resultaten ervan worden voorspeld. Bedrijven die dit apparaat gebruiken (en eraan vasthouden) om het Nash-evenwicht te bepalen, zien een enorm voordeel in hun budgetteringsstrategieën. (Zie ook:  The Basics of Game Theory.)

Wie is aan de beurt?

Terwijl opeenvolgende spellen om beurten worden gespeeld, worden gelijktijdige spellen gespeeld waarbij elke speler tegelijkertijd zijn beslissing neemt. Bij gelijktijdige spellen gebruiken we niet langer de gebruikelijke inleidende methode van achterwaartse inductie. Voorstanders van speltheorie brengen de verschillende uitkomsten vaak in een tabel in een zogenaamde matrix (hieronder).

Deze matrix wordt de normale vorm genoemd. De keuzes van de speler worden getoond op de linker verticale as en de keuzes van speler twee worden getoond op de bovenste horizontale as. De uitbetalingen voor elke speler bevinden zich op hun overeenkomstige kruispunten en worden als volgt weergegeven (speler één, speler twee).

Het Nash-evenwicht

Nash Equilibrium is een resultaat dat, eenmaal bereikt, betekent dat geen enkele speler de uitbetaling kan verhogen door beslissingen eenzijdig te wijzigen. Het kan ook worden gezien als “geen spijt”, in de zin dat als een beslissing eenmaal is genomen, de speler geen spijt zal hebben van beslissingen die rekening houden met de consequenties.

Het Nash-evenwicht wordt in de meeste gevallen in de loop van de tijd bereikt. Zodra het Nash-evenwicht is bereikt, wordt er echter niet meer van afgeweken. Nadat we hebben geleerd hoe we het Nash-evenwicht kunnen vinden, kijk dan hoe een eenzijdige beweging de situatie zou beïnvloeden. Is het logisch? Dat zou niet moeten, en daarom wordt het Nash-evenwicht beschreven als “geen spijt”.

Nash Equilibria vinden

Stap één: Bepaal de beste reactie van de speler op de acties van speler twee. Bij het onderzoeken van de keuzes die de uitbetaling van een speler kunnen maximaliseren, moeten we kijken hoe speler één moet reageren op elk van de opties die speler twee heeft. Een gemakkelijke manier om dit visueel te doen, is door de keuzes van speler twee te verbergen. Beschouw de matrix die aan het begin van dit artikel wordt weergegeven terwijl we deze methode toepassen.

Speler één heeft twee mogelijke keuzes om te spelen: “omhoog” of “omlaag”. Speler twee heeft ook twee keuzes om te spelen: “links” of “rechts”. In deze stap om het Nash-evenwicht te bepalen, kijken we naar de reacties op de acties van speler twee. Als speler twee ervoor kiest om “links” te spelen, kunnen we “omhoog” spelen met de uitbetaling van 1, of “omlaag” spelen met de uitbetaling van 3. Aangezien 3 groter is dan 1, zullen we de 3 vetgedrukt maken om aan te geven dat er een optie is om te spelen. “Hieronder.

Als speler twee ervoor kiest om “goed” te spelen, kunnen we ervoor kiezen om “omhoog” te spelen voor een uitbetaling van 4 of “omlaag” te spelen voor een play-off van 3. Aangezien 4 groter is dan 3, maken we de 4 vetgedrukt om de optie aan te geven. om hier “up” te spelen. De vetgedrukte resultaten worden hieronder op de volledige matrix weergegeven.

Stap twee: Bepaal de beste reactie van speler twee op de acties van de speler. Zoals we eerder hebben gedaan met de uitbetalingen van speler twee voor speler één, zullen we de uitbetalingen van speler één verbergen bij het bepalen van de beste reacties voor speler twee. (Zie ook:  Leading Indicators of Behavioral Finance.)

Net als wanneer je naar speler één kijkt, heeft elke speler twee keuzes om te spelen. Als speler één ervoor kiest om ‘omhoog’ te spelen, kunnen we ‘links’ spelen met een uitbetaling van 3 of ‘rechts’ met een uitbetaling van 2. Aangezien 3 groter is dan 2, maken we de 3 vetgedrukt om de optie te tonen speel hier “links”. Als speler één ervoor kiest om ‘naar beneden’ te spelen, kunnen we ‘links’ spelen voor een uitbetaling van 2 of ‘rechts’ voor een uitbetaling van 1. Aangezien 2 groter is dan 1, geven we de 2 vetgedrukt om de optie om te spelen “hier achtergelaten. De vetgedrukte resultaten worden hieronder op de volledige matrix weergegeven.

Stap drie: Bepaal voor welke resultaten beide uitbetalingen vetgedrukt zijn. Dat specifieke resultaat is het Nash-evenwicht. Nu combineren we de vetgedrukte opties voor beide spelers op de volledige matrix.

Zoek naar kruispunten waar beide uitbetalingen vetgedrukt zijn. In dit geval vinden we dat het snijpunt van (Onder, Links) met de uitbetaling van (3, 2) voldoet aan onze criteria. Dit duidt op ons Nash-evenwicht.

Deze methode om Nash Equilibrium te vinden is zeer geschikt om evenwicht te vinden in gelijktijdige spellen, aangezien we kijken naar hoe een speler zou reageren onafhankelijk van hoe de ander handelt. Dit scenario van een simultaan spel wordt vaak gespeeld in bedrijven zoals luchtvaartmaatschappijen. Hieronder ziet u een voorbeeld, vergelijkbaar met het spel hierboven, van hoe de prijzen van luchtvaartmaatschappijen eruit kunnen zien. De uitbetalingen zijn in duizenden dollars. Onthoud dat dit de uitbetalingen zijn, niet de prijzen. De methode die we eerder hebben toegepast, wordt al toegepast om te laten zien waar het Nash-evenwicht verschijnt.

Als we alleen naar de keuzes van A1 kijken, kunnen we zien dat als A2 ervoor kiest om een ​​lage prijs te spelen, we kiezen tussen een lage prijs voor 3.000 of een hoge prijs voor 2.000. We kiezen voor laag, sinds 3.000> 2.000. We doen hetzelfde voor A2 die hoge prijs speelt en zien dat we laag spelen omdat 4.000> 3.500. Omgekeerd, als we alleen naar de keuzes van A2 kijken, kunnen we zien dat als A1 ervoor kiest om met een lage prijs te spelen, we kiezen tussen “lage prijs” voor 3.000 en “hoge prijs” voor 2.000. Sinds 3.000> 2.000 kiezen we hier voor de lage prijsoptie. Als A1 een hoge prijs speelt, kunnen we een lage prijs rekenen voor 4.000 of een hoge prijs voor 3.500. Sinds 4.000> 3.500 kiezen we ervoor om hier voor een lage prijs te spelen.

Het Nash-evenwicht is dat beide luchtvaartmaatschappijen een lage prijs in rekening brengen (weergegeven wanneer de keuzes voor elke partij zijn gemarkeerd). Als beide luchtvaartmaatschappijen een hoge prijs zouden rekenen, zouden ze elk beter af zijn dan bij het Nash Equilibrium.

Dus waarom gaan ze niet akkoord om dit te doen? Ten eerste is het illegaal om samen te spannen. Ten tweede, als dit zou gebeuren, zou een eenzijdige actie namens één luchtvaartmaatschappij om een ​​lage prijs in rekening te brengen gunstig zijn, waardoor die luchtvaartmaatschappij op haar beurt meer geld zou verdienen. Deze logica laat ook zien hoe het Nash-evenwicht wordt bereikt en waarom het niet gunstig is om ervan af te wijken als het eenmaal is bereikt. (Zie ook:  Behavioral Finance.)

Meerdere Nash Equilibria

Over het algemeen kan er in een spel meer dan één evenwicht zijn. Dit komt echter meestal voor bij spellen met complexere elementen dan twee keuzes door twee spelers. In gelijktijdige spellen die in de loop van de tijd worden herhaald, wordt een van deze meervoudige evenwichten bereikt na wat vallen en opstaan. Dit scenario van verschillende keuzes in de loop van de tijd voordat het evenwicht wordt bereikt, wordt het vaakst gespeeld in de zakenwereld wanneer twee bedrijven prijzen bepalen voor sterk uitwisselbare producten, zoals vliegtickets of frisdranken.

Het komt neer op

Met deze geavanceerde methoden kunnen meer realistische situaties worden gemodelleerd en opgelost. De verschillende soorten Nash Equilibria die we hebben besproken, zijn de meest gevonden oplossingen voor gemodelleerde games uit de echte wereld. Een praktische kennis van de speltheorie kan u helpen een strategie te vormen, of u nu boter-kaas-en-eieren speelt of strijden om de grootste winsten.