Arbitrage-prijstheorie: het is niet alleen mooie wiskunde
24 juni 2021 7:19
Arbitrage-prijstheorie: het is niet alleen mooie wiskunde
Arbitrage pricing theory (APT) is een alternatief voor het Capital Asset Pricing Model (CAPM) voor het verklaren van rendementen van activa of portefeuilles. Het is in de jaren zeventig ontwikkeld door econoom Stephen Ross. In de loop der jaren is de arbitrageprijsstellingstheorie in populariteit gestegen vanwege de relatief eenvoudigere aannames. De arbitrageprijsstellingstheorie is in de praktijk echter een stuk moeilijker toe te passen omdat er veel gegevens en complexe statistische analyse voor nodig zijn.
Laten we eens kijken wat de arbitrageprijsstellingstheorie is en hoe we deze in de praktijk kunnen brengen.
Wat is APT?
APT is een technisch model met meerdere factoren dat is gebaseerd op de relatie tussen het verwachte rendement van een financieel actief en het risico ervan. Het model is ontworpen om de gevoeligheid van het rendement van het activum voor veranderingen in bepaalde macro-economische variabelen vast te leggen. Beleggers en financiële analisten kunnen deze resultaten gebruiken om de prijs van effecten te helpen.
Inherent aan de arbitrageprijsstellingstheorie is de overtuiging dat verkeerd geprijsde effecten op korte termijn risicovrije winstkansen kunnen vertegenwoordigen. APT verschilt van de meer conventionele CAPM, die slechts één enkele factor gebruikt. Net als CAPM gaat de APT er echter van uit dat een factormodel de correlatie tussen risico en rendement effectief kan beschrijven.
Drie onderliggende veronderstellingen van APT
In tegenstelling tot het prijsmodel voor kapitaalgoederen gaat de arbitrageprijsstellingstheorie er niet van uit dat beleggers efficiënte portefeuilles aanhouden.
De theorie volgt echter drie onderliggende aannames:
Het rendement op activa wordt verklaard door systematische factoren.
Beleggers kunnen een portefeuille van activa samenstellen waarin specifieke risico’s worden geëlimineerd door middel van diversificatie.
Er bestaat geen arbitragemogelijkheid tussen goed gediversifieerde portefeuilles. Als er arbitragemogelijkheden zijn, worden deze door investeerders uitgebuit. (Dit is hoe de theorie zijn naam kreeg.)
Veronderstellingen van het Capital Asset Pricing Model
We kunnen zien dat dit meer ontspannen aannames zijn dan die van het model voor de prijsstelling van kapitaalgoederen. Dat model gaat ervan uit dat alle beleggers homogene verwachtingen hebben over het gemiddelde rendement en de variantie van activa. Het veronderstelt ook dat dezelfde efficiënte grens beschikbaar is voor alle investeerders.
Voor een goed gediversifieerde portefeuille kan een basisformule die de arbitrageprijsstellingstheorie beschrijft, als volgt worden geschreven:
R f is het rendement als het actief geen blootstelling had aan factoren, dat wil zeggen alles
βn=0\ beta_n = 0βn=0
In tegenstelling tot het prijsmodel voor kapitaalgoederen, specificeert de arbitrageprijsstellingstheorie de factoren niet. Volgens het onderzoek van Stephen Ross en Richard Roll zijn de belangrijkste factoren echter de volgende:
Volgens de onderzoekers Ross en Roll, als er geen verrassing gebeurt in de verandering van bovenstaande factoren, zal het werkelijke rendement gelijk zijn aan het verwachte rendement. Bij onverwachte wijzigingen in de factoren wordt het daadwerkelijke rendement echter als volgt gedefinieerd
Merk op dat f ‘ n de onverwachte verandering in de factor of verrassingsfactor is, e is het resterende deel van het werkelijke rendement.
(Lees voor meer informatie over het prijsmodel voor kapitaalgoederen De voordelen en nadelen van het CAPM-model.)
Factorgevoeligheden en factorpremies schatten
Hoe kunnen we feitelijk factorgevoeligheden afleiden? Bedenk dat we in het prijsmodel voor kapitaalgoederen de bètaversie van activa hebben afgeleid, die de gevoeligheid van activa voor marktrendement meet, door simpelweg het werkelijke rendement van activa af te zetten tegen het marktrendement. Het afleiden van de bèta van de factoren is vrijwel dezelfde procedure.
Om de techniek van het schatten van ß n (gevoeligheid voor de factor n) en f n (de n-de factorprijs) te illustreren , nemen we de S&P 500 Total Return Index en de NASDAQ Composite Total Return Index als proxy’s voor goed gediversifieerde portefeuilles waarvoor we ß n en f n willen vinden. Voor de eenvoud gaan we ervan uit dat we weten dat R f (het risicovrije rendement) 2 procent is. We gaan er ook van uit dat het verwachte jaarlijkse rendement van de portefeuilles 7 procent is voor de S&P 500 Total Return Index en 9 procent voor de NASDAQ Composite Total Return Index.
Stap 1: Bepaal systematische factoren
We moeten de systematische factoren bepalen waarmee het portefeuillerendement wordt verklaard. Laten we aannemen dat het groeipercentage van het reële bruto binnenlands product (bbp) en de verandering van het rendement op 10-jaars staatsobligaties de factoren zijn die we nodig hebben. Aangezien we hebben gekozen voor twee indices met grote componenten, kunnen we erop vertrouwen dat onze portefeuilles goed gediversifieerd zijn met vrijwel geen specifiek risico.
Stap 2: verkrijg bèta’s
We hebben een regressie uitgevoerd op de historische kwartaalgegevens van elke index ten opzichte van de reële bbp-groeipercentages op kwartaalbasis en de kwartaalopbrengsten van T-obligaties. Merk op dat omdat deze berekeningen alleen voor illustratieve doeleinden zijn, we de technische kanten van regressieanalyse zullen overslaan.
Hier zijn de resultaten:
Regressieresultaten vertellen ons dat beide portefeuilles veel hogere gevoeligheden hebben voor bbp-groeipercentages (wat logisch is omdat de bbp-groei meestal wordt weerspiegeld in de verandering op de aandelenmarkt) en zeer kleine gevoeligheden voor verandering in de opbrengst van T-obligaties (ook dit is logisch omdat aandelen minder groot zijn). gevoelig voor rendementsveranderingen dan obligaties).
Stap 3: verkrijg factorprijzen of factorpremies
Nu we bètafactoren hebben verkregen, kunnen we de factorprijzen schatten door de volgende set vergelijkingen op te lossen:
Het idee achter een no-arbitrage-voorwaarde is dat als er een verkeerd geprijsd effect op de markt is, beleggers altijd een portefeuille kunnen samenstellen met factorgevoeligheden die vergelijkbaar zijn met die van verkeerd geprijsde effecten, en de arbitragemogelijkheid kunnen benutten.
Stel bijvoorbeeld dat er naast onze indexportefeuilles een ABC-portefeuille is met de respectieve gegevens in de volgende tabel:
We kunnen een portefeuille samenstellen uit de eerste twee indexportefeuilles (met een S&P 500 Total Return Index-gewicht van 70 procent en NASDAQ Composite Total Return Index-gewicht van 30 procent) met vergelijkbare factorgevoeligheden als de ABC-portfolio, zoals weergegeven in de laatste ruwe van de tafel. Laten we dit de Combined Index Portfolio noemen. De gecombineerde indexportefeuille heeft dezelfde bèta’s voor de systematische factoren als de ABC-portefeuille, maar een lager verwacht rendement.
Dit impliceert dat de ABC-portefeuille ondergewaardeerd is. We zullen dan short gaan op de Combined Index Portfolio en met die opbrengst aandelen van de ABC Portfolio kopen, die ook wel de arbitrageportefeuille wordt genoemd (omdat deze de arbitragemogelijkheid benut). Aangezien alle beleggers een overgewaardeerde portefeuille zouden verkopen en een ondergewaardeerde portefeuille zouden kopen, zou dit elke arbitragewinst wegjagen. Dit is de reden waarom de theorie arbitrageprijsstellingstheorie wordt genoemd.
Het komt neer op
Arbitrage-prijstheorie, als een alternatief model voor het prijsmodel voor kapitaalactiva, tracht activa- of portefeuillerendementen te verklaren met systematische factoren en activa- / portefeuillegevoeligheden voor dergelijke factoren. De theorie schat het verwachte rendement van goed gediversifieerde portefeuilles met de onderliggende aanname dat portefeuilles goed gediversifieerd zijn en dat elke afwijking van de evenwichtsprijs op de markt onmiddellijk door beleggers zou worden verdreven. Elk verschil tussen het werkelijke rendement en het verwachte rendement wordt verklaard door factorverrassingen (verschillen tussen verwachte en werkelijke waarden van factoren).
Het nadeel van arbitrageprijsstellingstheorie is dat deze de systematische factoren niet specificeert, maar analisten kunnen deze vinden door historische portefeuillerendementen te verlagen ten opzichte van factoren zoals reële bbp groeipercentages, inflatieveranderingen, veranderingen in termijnstructuur, veranderingen in risicopremies, enzovoort. Regressievergelijkingen maken het mogelijk om te beoordelen welke systematische factoren het portefeuillerendement verklaren en welke niet.
