De stellingdefinitie van Bayes
Wat is de stelling van Bayes?
De stelling van Bayes, genoemd naar de 18e-eeuwse Britse wiskundige Thomas Bayes, is een wiskundige formule voor het bepalen van voorwaardelijke waarschijnlijkheid. Voorwaardelijke waarschijnlijkheid is de waarschijnlijkheid dat een uitkomst optreedt, op basis van een eerdere uitkomst. De stelling van Bayes biedt een manier om bestaande voorspellingen of theorieën te herzien (actualiseer waarschijnlijkheden) op basis van nieuw of aanvullend bewijs. In de financiële wereld kan de stelling van Bayes worden gebruikt om het risico van het uitlenen van geld aan potentiële leners in te schatten.
De stelling van Bayes wordt ook wel de regel van Bayes of de wet van Bayes genoemd en vormt de basis van het veld van de Bayesiaanse statistiek.
Belangrijkste leerpunten
- Met de stelling van Bayes kunt u de voorspelde waarschijnlijkheden van een gebeurtenis bijwerken door nieuwe informatie op te nemen.
- De stelling van Bayes is vernoemd naar de 18e-eeuwse wiskundige Thomas Bayes.
- Het wordt vaak gebruikt in de financiële wereld om de risico-evaluatie bij te werken.
Inzicht in de stelling van Bayes
Toepassingen van de stelling zijn wijdverbreid en niet beperkt tot het financiële domein. De stelling van Bayes kan bijvoorbeeld worden gebruikt om de nauwkeurigheid van medische testresultaten te bepalen door in overweging te nemen hoe waarschijnlijk het is dat een bepaalde persoon een ziekte heeft en de algemene nauwkeurigheid van de test. De stelling van Bayes is gebaseerd op het opnemen van eerdere kansverdelingen om latere waarschijnlijkheden te genereren. Voorafgaande waarschijnlijkheid, in Bayesiaanse statistische gevolgtrekking, is de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis voordat nieuwe gegevens worden verzameld. Dit is de beste rationele inschatting van de waarschijnlijkheid van een uitkomst op basis van de huidige kennis voordat een experiment wordt uitgevoerd. De posterieure waarschijnlijkheid is de herziene kans dat een gebeurtenis zich voordoet, rekening houdend met nieuwe informatie. De posterieure waarschijnlijkheid wordt berekend door de eerdere waarschijnlijkheid bij te werken met behulp van de stelling van Bayes. In statistische termen is de posterieure waarschijnlijkheid de kans dat gebeurtenis A plaatsvindt, gegeven dat gebeurtenis B heeft plaatsgevonden.
De stelling van Bayes geeft dus de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis op basis van nieuwe informatie die verband houdt met die gebeurtenis of die daarmee verband houdt. De formule kan ook worden gebruikt om te zien hoe de kans dat een gebeurtenis plaatsvindt, wordt beïnvloed door hypothetische nieuwe informatie, ervan uitgaande dat de nieuwe informatie waar zal blijken te zijn. Stel dat een enkele kaart wordt getrokken uit een compleet kaartspel van 52 kaarten. De kans dat de kaart een dam is, is vier gedeeld door 52, wat gelijk is aan 1/13 of ongeveer 7,69%. Onthoud dat er vier koningen in de stapel zitten. Stel nu dat wordt onthuld dat de geselecteerde kaart een plaatje is. De kans dat de geselecteerde kaart een koning is, gegeven dat het een plaatje is, is vier gedeeld door 12, of ongeveer 33,3%, aangezien er 12 plaatjes in een stapel zitten.
Formule voor de stelling van Bayes
Voorbeelden van de stelling van Bayes
Hieronder staan twee voorbeelden van de stelling van Bayes waarin het eerste voorbeeld laat zien hoe de formule kan worden afgeleid in een voorbeeld van aandeleninvesteringen met behulp van Amazon.com Inc. ( AMZN ). Het tweede voorbeeld past de stelling van Bayes toe op het testen van farmaceutische medicijnen.
De formule van de Bayes-stelling afleiden
De stelling van Bayes volgt eenvoudigweg uit de axioma’s van voorwaardelijke waarschijnlijkheid. Voorwaardelijke waarschijnlijkheid is de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis, gegeven dat er een andere gebeurtenis heeft plaatsgevonden. Een eenvoudige waarschijnlijkheidsvraag kan bijvoorbeeld vragen: “Hoe groot is de kans dat de aandelenkoers van Amazon.com daalt?” Voorwaardelijke waarschijnlijkheid brengt deze vraag een stap verder door te vragen: “Hoe groot is de kans dat de AMZN-aandelenkoers daalt, gezien het feit dat de Dow Jones Industrial Average (DJIA) -index eerder daalde?”
De voorwaardelijke kans van A gegeven dat B is gebeurd, kan worden uitgedrukt als:
Als A is: “AMZN prijs daalt” dan is P (AMZN) de kans dat AMZN daalt; en B is: “DJIA is al down”, en P (DJIA) is de kans dat de DJIA viel; dan luidt de uitdrukking voor voorwaardelijke waarschijnlijkheid als “de kans dat AMZN daalt bij een daling van de DJIA is gelijk aan de waarschijnlijkheid dat de prijs van AMZN daalt en DJIA daalt ten opzichte van de waarschijnlijkheid van een daling van de DJIA-index.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN en DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN en DJIA) is de kans dat zowel A als B optreden. Dit is ook hetzelfde als de kans dat A optreedt vermenigvuldigd met de kans dat B optreedt gegeven dat A voorkomt, uitgedrukt als P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Het feit dat deze twee uitdrukkingen gelijk zijn, leidt tot de stelling van Bayes, die is geschreven als:
if, P (AMZN en DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
dan, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Waar P (AMZN) en P (DJIA) de kansen zijn dat Amazon en de Dow Jones vallen, ongeacht elkaar.
De formule legt de relatie uit tussen de waarschijnlijkheid van de hypothese voordat het bewijs wordt gezien dat P (AMZN), en de waarschijnlijkheid van de hypothese na het verkrijgen van het bewijs P (AMZN | DJIA), gegeven een hypothese voor Amazon, gegeven bewijs in de Dow.
Numeriek voorbeeld van de stelling van Bayes
Stel je als numeriek voorbeeld voor dat er een drugstest is die 98% nauwkeurig is, wat betekent dat 98% van de tijd dat het een echt positief resultaat laat zien voor iemand die het medicijn gebruikt en 98% van de tijd dat het een echt negatief resultaat laat zien voor niet-gebruikers van de drug. medicijn. Stel vervolgens dat 0,5% van de mensen het medicijn gebruikt. Als een willekeurig geselecteerde persoon positief test op het medicijn, kan de volgende berekening worden gemaakt om te zien of de waarschijnlijkheid dat de persoon daadwerkelijk een gebruiker van het medicijn is.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%
De stelling van Bayes laat zien dat zelfs als een persoon positief testte in dit scenario, het in feite veel waarschijnlijker is dat de persoon geen gebruiker van het medicijn is.