Voorwaardelijke waarschijnlijkheid
Wat is voorwaardelijke waarschijnlijkheid?
Voorwaardelijke waarschijnlijkheid wordt gedefinieerd als de waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis of uitkomst zich voordoet, gebaseerd op het optreden van een eerdere gebeurtenis of uitkomst. Voorwaardelijke kans wordt berekend door de kans op de voorgaande gebeurtenis te vermenigvuldigen met de bijgewerkte kans op de volgende of voorwaardelijke gebeurtenis.
Bijvoorbeeld:
- Gebeurtenis A is dat een persoon die zich aanmeldt voor de universiteit, wordt geaccepteerd. Er is een kans van 80% dat deze persoon wordt toegelaten tot de universiteit.
- Gebeurtenis B is dat deze persoon slaapzalen krijgt. Er wordt slechts voorzien in slaapzalen voor 60% van alle geaccepteerde studenten.
- P (Geaccepteerd en slaapzaal) = P (Slaapzaal | Geaccepteerd) P (Geaccepteerd) = (0,60) * (0,80) = 0,48.
Een voorwaardelijke kans zou naar deze twee gebeurtenissen kijken in relatie tot elkaar, zoals de kans dat jullie allebei worden toegelaten tot de universiteit en dat je slaapzalen krijgt.
Voorwaardelijke waarschijnlijkheid staat in contrast met onvoorwaardelijke waarschijnlijkheid. Onvoorwaardelijke waarschijnlijkheid verwijst naar de waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis zal plaatsvinden, ongeacht of er andere gebeurtenissen hebben plaatsgevonden of dat er andere omstandigheden aanwezig zijn.
Belangrijkste leerpunten
- Voorwaardelijke waarschijnlijkheid verwijst naar de kans dat een uitkomst optreedt, aangezien er ook een andere gebeurtenis heeft plaatsgevonden.
- Het wordt vaak vermeld als de kans op B gegeven A en wordt geschreven als P (B | A), waarbij de kans op B afhangt van die van A gebeuren.
- Voorwaardelijke waarschijnlijkheid staat in contrast met onvoorwaardelijke waarschijnlijkheid.
Voorwaardelijke waarschijnlijkheid begrijpen
Zoals eerder vermeld, zijn voorwaardelijke waarschijnlijkheden afhankelijk van een eerder resultaat. Het maakt ook een aantal aannames. Stel dat u drie knikkers – rood, blauw en groen – uit een zak trekt. Elke knikker heeft een gelijke kans om getrokken te worden. Wat is de voorwaardelijke kans om de rode knikker te tekenen nadat de blauwe al is getekend?
Ten eerste is de kans om een blauwe knikker te tekenen ongeveer 33%, omdat dit een mogelijke uitkomst op drie is. Ervan uitgaande dat deze eerste gebeurtenis plaatsvindt, blijven er twee knikkers over, die elk 50% kans hebben om getrokken te worden. Dus de kans om een blauwe knikker te tekenen nadat je al een rode knikker hebt getekend, zou ongeveer 16,5% (33% x 50%) zijn.
Als een ander voorbeeld om meer inzicht te geven in dit concept, bedenk dat er een eerlijke dobbelsteen is gegooid en dat u wordt gevraagd om de waarschijnlijkheid te geven dat het een vijf was. Er zijn zes even waarschijnlijke uitkomsten, dus uw antwoord is 1/6. Maar stel je voor dat voordat je antwoordt, je extra informatie krijgt dat het gegooide nummer oneven was. Aangezien er slechts drie oneven getallen mogelijk zijn, waarvan er één vijf is, zou u zeker uw schatting herzien voor de waarschijnlijkheid dat een vijf werd gegooid van 1/6 naar 1/3.
Deze herziene kans dat een gebeurtenis A heeft plaatsgevonden, gezien de aanvullende informatie dat een andere gebeurtenis B zeker heeft plaatsgevonden tijdens deze proef van het experiment, wordt de voorwaardelijke kans op A gegeven B genoemd en wordt aangeduid met P (A | B).
Voorwaardelijke waarschijnlijkheidsformule
P (B | A) = P (A en B) / P (A)
Of:
P (B | A) = P (A∩B) / P (A)
Nog een voorbeeld van voorwaardelijke waarschijnlijkheid
Een ander voorbeeld: stel dat een student toelating tot een universiteit aanvraagt en hoopt op een academische beurs. De school waarop ze solliciteren accepteert 100 van elke 1.000 aanvragers (10%) en kent academische beurzen toe aan 10 van elke 500 studenten die worden geaccepteerd (2%). Van de ontvangers van een beurs ontvangt 50% ook universitaire toelagen voor boeken, maaltijden en huisvesting. Voor onze ambitieuze student is de kans dat ze worden geaccepteerd en vervolgens een studiebeurs ontvangen, 0,2% (0,1 x 0,02). De kans dat ze worden aangenomen, de beurs ontvangen en dan ook nog een stipendium voor boeken enz. Is 0,1% (.1 x.02 x.5). (Je kunt ook de stelling van Bayes bekijken.)
Voorwaardelijke waarschijnlijkheid versus gezamenlijke waarschijnlijkheid en marginale waarschijnlijkheid
Voorwaardelijke kans : p (A | B) is de kans dat gebeurtenis A optreedt, gegeven dat gebeurtenis B plaatsvindt. Voorbeeld: gegeven dat je een rode kaart hebt getrokken, wat is de kans dat het een vier is (p (vier | rood)) = 2/26 = 1/13. Dus van de 26 rode kaarten (gegeven een rode kaart), zijn er twee vieren dus 2/26 = 1/13.
Marginale waarschijnlijkheid : de kans dat een gebeurtenis plaatsvindt (p (A)), het kan worden beschouwd als een onvoorwaardelijke kans. Het is niet afhankelijk van een ander evenement. Voorbeeld: de kans dat een getrokken kaart rood is (p (rood) = 0,5). Een ander voorbeeld: de kans dat een getrokken kaart een 4 is (p (vier) = 1/13).
Gezamenlijke kans : p (A en B). De kans dat gebeurtenis A en gebeurtenis B plaatsvinden. Het is de kans dat twee of meer gebeurtenissen elkaar kruisen. De waarschijnlijkheid van het snijpunt van A en B kan worden geschreven als p (A ∩ B). Voorbeeld: de kans dat een kaart een vier is en rood = p (vier en rood) = 2/52 = 1/26. (Er zijn twee rode vieren in een kaartspel van 52, harten 4 en ruiten 4).
De stelling van Bayes
De stelling van Bayes, genoemd naar de 18e-eeuwse Britse wiskundige Thomas Bayes, is een wiskundige formule voor het bepalen van voorwaardelijke waarschijnlijkheid. De stelling biedt een manier om bestaande voorspellingen of theorieën te herzien (waarschijnlijkheden bij te werken) op basis van nieuw of aanvullend bewijs. In de financiële wereld kan de stelling van Bayes worden gebruikt om het risico van het uitlenen van geld aan potentiële leners in te schatten.
De stelling van Bayes wordt ook wel de regel van Bayes of de wet van Bayes genoemd en vormt de basis van het veld van de Bayesiaanse statistiek. Deze set van waarschijnlijkheidsregels stelt iemand in staat om zijn voorspellingen van gebeurtenissen die plaatsvinden bij te werken op basis van nieuwe informatie die is ontvangen, wat zorgt voor betere en dynamischere schattingen.