Onderzoek naar het exponentieel gewogen voortschrijdend gemiddelde

Volatiliteit is de meest voorkomende risicomaatstaf, maar het is er in verschillende smaken. In een vorig artikel hebben we laten zien hoe we eenvoudige historische volatiliteit kunnen berekenen. In dit artikel zullen we de eenvoudige volatiliteit verbeteren en het exponentieel gewogen voortschrijdend gemiddelde (EWMA) bespreken.

Historische vs. impliciete volatiliteit

Laten we deze statistiek eerst een beetje in perspectief plaatsen. Er zijn twee brede benaderingen: historische en impliciete (of impliciete) vluchtigheid. De historische benadering gaat ervan uit dat het verleden proloog is; we meten de geschiedenis in de hoop dat deze voorspellend is. Impliciete vluchtigheid daarentegen negeert de geschiedenis; het lost de volatiliteit op die door marktprijzen wordt geïmpliceerd. Het hoopt dat de markt het beste weet en dat de marktprijs, ook al is het impliciet, een consensusschatting van de volatiliteit bevat.

Als we ons concentreren op alleen de drie historische benaderingen (links hierboven), hebben ze twee stappen gemeen:

1. Bereken de reeks periodieke aangiften
2. Pas een wegingsschema toe

Eerst berekenen we het periodiek rendement. Dat is meestal een reeks dagelijkse rendementen waarbij elk rendement wordt uitgedrukt in continu samengestelde termen. Voor elke dag nemen we de natuurlijke log van de verhouding van de aandelenkoersen (dwz de prijs van vandaag gedeeld door de prijs van gisteren, enzovoort).

Dit levert een reeks dagelijkse rendementen op, van u i tot u i-m, afhankelijk van hoeveel dagen (m = dagen) we meten.

Dat brengt ons bij de tweede stap: hier verschillen de drie benaderingen. In het vorige artikel hebben we laten zien dat onder een aantal acceptabele vereenvoudigingen de eenvoudige variantie het gemiddelde is van de gekwadrateerde rendementen:

Variance=σn2=1m∑ik=1mun-12where:m=Number of days measuredn=Day iku=Difference of return from average return\ begin {uitgelijnd} & \ text {Variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} {m} \ sum_ {i = 1} ^ mu ^ 2_ {n – 1} \\ & \ textbf {waarbij:} \\ & m = \ text {Aantal dagen gemeten} \\ & n = \ text {Dag} i \\ & u = \ text {Verschil van rendement met gemiddeld rendement} \\ \ end {uitgelijnd}​Variantie=σn2​=m

Merk op dat dit elk van de periodieke rendementen bij elkaar optelt en dat totaal vervolgens deelt door het aantal dagen of waarnemingen (m). Het is dus eigenlijk gewoon een gemiddelde van de gekwadrateerde periodieke rendementen. Anders gezegd, elk kwadraat rendement krijgt een gelijk gewicht. Dus als alpha (a) een weegfactor is (specifiek, a = 1 / m), dan ziet een simpele variantie er ongeveer zo uit:

De EWMA verbetert eenvoudige variantie De zwakte van deze benadering is dat alle rendementen hetzelfde gewicht verdienen. Het (zeer recente) rendement van gisteren heeft niet meer invloed op de variantie dan het rendement van vorige maand. Dit probleem wordt opgelost door het exponentieel gewogen voortschrijdend gemiddelde (EWMA) te gebruiken, waarbij recentere aangiften een groter gewicht hebben op de variantie.

Het exponentieel gewogen voortschrijdend gemiddelde (EWMA) introduceert lambda, de afvlakparameter. Lambda moet kleiner zijn dan één. Onder die voorwaarde wordt in plaats van gelijke gewichten elk kwadraatrendement als volgt gewogen door een vermenigvuldiger :

RiskMetricsTM, een bedrijf voor financieel risicobeheer, heeft bijvoorbeeld de neiging om een ​​lambda van 0,94 of 94% te gebruiken.  In dit geval wordt het eerste (meest recente) gekwadrateerde periodieke rendement gewogen met (1-0,94) (. 94) = 6%. Het volgende kwadraatrendement is gewoon een lambda-veelvoud van het vorige gewicht; in dit geval 6% vermenigvuldigd met 94% = 5,64%. En het gewicht van de derde voorgaande dag is gelijk aan (1-0,94) (0,94) = 5,30%.

Dat is de betekenis van “exponentieel” in EWMA: elk gewicht is een constante vermenigvuldiger (dwz lambda, die kleiner moet zijn dan één) van het gewicht van de vorige dag. Dit zorgt voor een variantie die wordt gewogen of gericht op recentere gegevens. Het verschil tussen gewoon volatiliteit en EWMA voor Google wordt hieronder weergegeven.

Eenvoudige volatiliteit weegt in feite elk periodiek rendement met 0,196%, zoals weergegeven in kolom O (we hadden twee jaar aan dagelijkse aandelenkoersgegevens. Dat zijn 509 dagelijkse rendementen en 1/509 = 0,196%). Maar merk op dat kolom P een gewicht toekent van 6%, dan 5,64%, dan 5,3% enzovoort. Dat is het enige verschil tussen eenvoudige variantie en EWMA.

Onthoud: nadat we de hele reeks hebben opgeteld (in kolom Q), hebben we de variantie, het kwadraat van de standaarddeviatie. Als we vluchtigheid willen, moeten we onthouden dat we de vierkantswortel van die variantie moeten nemen.

Wat is het verschil in dagelijkse vluchtigheid tussen de variantie en EWMA in het geval van Google? Het is significant: de simpele variantie gaf ons een dagelijkse vluchtigheid van 2,4%, maar de EWMA gaf een dagelijkse vluchtigheid van slechts 1,4% (zie de spreadsheet voor details). Blijkbaar is de vluchtigheid van Google recenter afgenomen; daarom kan een eenvoudige variantie kunstmatig hoog zijn.

De afwijking van vandaag is een functie van de afwijking van de vorige dag

U zult merken dat we een lange reeks exponentieel dalende gewichten moesten berekenen. We zullen de wiskunde hier niet doen, maar een van de beste kenmerken van de EWMA is dat de hele reeks gemakkelijk wordt gereduceerd tot een recursieve formule:

Recursief betekent dat de variantie-referenties van vandaag (dwz een functie zijn van) de variantie van de vorige dag. U vindt deze formule ook in de spreadsheet en levert exact hetzelfde resultaat op als de berekening met de hand! Het zegt: de variantie van vandaag (onder EWMA) is gelijk aan de variantie van gisteren (gewogen door lambda) plus het kwadraatrendement van gisteren (gewogen met één minus lambda). Merk op hoe we gewoon twee termen bij elkaar optellen: de gewogen variantie van gisteren en het gewogen, gekwadrateerde rendement van gisteren.

Toch is lambda onze afvlakparameter. Een hogere lambda (bijv. Zoals RiskMetric’s 94%) duidt op een langzamer verval in de reeks – in relatieve termen zullen we meer datapunten in de reeks hebben en ze zullen langzamer “afvallen”. Aan de andere kant, als we de lambda verlagen, geven we een hoger verval aan: de gewichten vallen sneller af en als direct gevolg van het snelle verval worden er minder datapunten gebruikt. (In de spreadsheet is lambda een invoer, dus je kunt experimenteren met de gevoeligheid ervan).

Samenvatting

Volatiliteit is de momentane standaarddeviatie van een aandeel en de meest voorkomende risicomaatstaf. Het is ook de vierkantswortel van variantie. We kunnen variantie historisch of impliciet meten (impliciete volatiliteit). Bij historische metingen is de eenvoudigste methode een eenvoudige variantie. Maar de zwakte van simpele variantie is dat alle opbrengsten hetzelfde gewicht krijgen. We staan ​​dus voor een klassieke afweging: we willen altijd meer gegevens, maar hoe meer gegevens we hebben, hoe meer onze berekening wordt verwaterd door verre (minder relevante) gegevens. Het exponentieel gewogen voortschrijdend gemiddelde (EWMA) verbetert de eenvoudige variantie door gewichten toe te kennen aan de periodieke aangiften. Door dit te doen, kunnen we zowel een grote steekproefomvang gebruiken als meer gewicht toekennen aan recentere aangiften.