Macaulay-duur versus gewijzigde duur

Macaulay duration en modified duration worden voornamelijk gebruikt om de looptijden van obligaties te berekenen. De Macaulay-duration berekent de gewogen gemiddelde tijd voordat een obligatiehouder de kasstromen van de obligatie zou ontvangen. Omgekeerd meet de modified duration de prijsgevoeligheid van een obligatie wanneer het rendement op de vervaldag verandert.

De Macaulay-duur

De Macaulay-duration wordt berekend door de tijdsperiode te vermenigvuldigen met de periodieke couponbetaling en de resulterende waarde te delen door 1 plus het periodieke rendement verhoogd tot de looptijd. Vervolgens wordt de waarde voor elke periode berekend en bij elkaar opgeteld. Vervolgens wordt de resulterende waarde opgeteld bij het totale aantal perioden vermenigvuldigd met de  nominale waarde, gedeeld door 1, plus het periodieke rendement verhoogd tot het totale aantal perioden. Vervolgens wordt de waarde gedeeld door de huidige obligatiekoers.

De prijs van een obligatie wordt berekend door de cashflow te vermenigvuldigen met 1, minus 1, gedeeld door 1, plus het rendement tot de vervaldatum, verhoogd tot het aantal perioden gedeeld door het vereiste rendement. De resulterende waarde wordt toegevoegd aan de nominale waarde, of de looptijdwaarde, van de obligatie gedeeld door 1, plus het rendement tot de vervaldatum verhoogd tot het totale aantal perioden.

Stel dat de Macaulay-duration van een vijfjarige obligatie met een looptijd van $ 5.000 en een couponrente van 6% 4,87 jaar is ((1 * 60) / (1 + 0,06) + (2 * 60) / (1 + 0,06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0,06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0,06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0,06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0,06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0,06) ^ -5) / (0,06)) + (5000 / (1 + 0,06) ^ 5)).

De modified duration van deze obligatie, met een rendement tot einde looptijd van 6% gedurende één couponperiode, is 4,59 jaar (4,87 / (1 + 0,06 / 1). Daarom, als het rendement tot einde looptijd stijgt van 6% naar 7%, De looptijd van de obligatie neemt af met 0,28 jaar (4,87 – 4,59).

De formule om de procentuele verandering in de prijs van de obligatie te berekenen, is de verandering in het rendement vermenigvuldigd met de negatieve waarde van de modified duration vermenigvuldigd met 100%. Deze resulterende procentuele verandering in de obligatie, voor een stijging van de opbrengst van 1%, wordt berekend op -4,59% (0,01 * – 4,59 * 100%).

De gewijzigde duur

Modified duration=Macauley Duration(1+YTM.n)where:YTM.=yield to maturityn=number of coupon periods per year\ begin {uitgelijnd} & \ text {Gewijzigde duur} = \ frac {\ text {Macauley Duur}} {\ left (1 + \ frac {YTM} {n} \ right)} \\ & \ textbf {waarbij:} \\ & YTM = \ text {rendement tot einde looptijd} \\ & n = \ text {aantal couponperiodes per jaar} \ einde {uitgelijnd}​Gewijzigde duur=( 1+n

De  modified duration  is een aangepaste versie van de Macaulay duration, die rekening houdt met het veranderende rendement naar looptijden. De formule voor de modified duration is de waarde van de Macaulay duration gedeeld door 1, plus het rendement tot einde looptijd gedeeld door het aantal couponperiodes per jaar. De modified duration bepaalt de veranderingen in de duration en prijs van een obligatie voor elke  procentuele verandering  in het rendement tot de eindvervaldag.1

Stel dat een obligatie met een looptijd van zes jaar een nominale waarde heeft van $ 1.000 en een jaarlijkse couponrente van 8%. De Macaulay-duur wordt berekend als 4,99 jaar ((1 * 80) / (1 + 0,08) + (2 * 80) / (1 + 0,08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0,08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0,08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0,08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0,08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0,08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0,08) ^ -6) / 0,08 + 1000 / (1 + 0,08) ^ 6).

De modified duration van deze obligatie, met een rendement tot einde looptijd van 8% gedurende één couponperiode, is 4,62 jaar (4,99 / (1 + 0,08 / 1). Daarom, als het rendement tot einde looptijd stijgt van 8% naar 9%, de looptijd van de obligatie neemt af met 0,37 jaar (4,99 – 4,62).

De formule om de procentuele verandering in de prijs van de obligatie te berekenen, is de verandering in het rendement vermenigvuldigd met de negatieve waarde van de modified duration vermenigvuldigd met 100%. Deze resulterende procentuele verandering in de obligatie, bij een renteverhoging van 8% naar 9%, wordt berekend op -4,62% ​​(0,01 * – 4,62 * 100%).

Als de rente van de ene op de andere dag met 1% stijgt, zal de prijs van de obligatie daarom naar verwachting 4,62% ​​dalen.

De gewijzigde duration en renteswaps

De gewijzigde looptijd zou kunnen worden verlengd om het aantal jaren te berekenen dat een renteswap nodig zou hebben om de voor de swap betaalde prijs terug te betalen. Een renteswap is de uitwisseling van de ene set  kasstromen  voor de andere en is gebaseerd op rentespecificaties tussen de partijen.

De modified duration wordt berekend door de dollarwaarde van een verandering van één basispunt van een renteswapbeen of een reeks kasstromen te delen door de contante waarde van de reeks kasstromen. De waarde wordt vervolgens vermenigvuldigd met 10.000. De aangepaste duur voor elke reeks kasstromen kan ook worden berekend door de dollarwaarde van een basispuntverandering van de reeks kasstromen te delen door de nominale waarde plus de marktwaarde. De breuk wordt vervolgens vermenigvuldigd met 10.000.

De modified duration van beide takken moet worden berekend om de modified duration van de renteswap te berekenen . Het verschil tussen de twee modified duration is de modified duration van de renteswap. De formule voor de modified duration van de renteswap is de modified duration van het ontvangende deel minus de modified duration van het betalende deel.

Stel dat bank A en bank B een renteswap aangaan. De modified duration van het ontvangende deel van een swap wordt berekend als negen jaar en de modified duration van het betalende deel wordt berekend als vijf jaar. De resulterende modified duration van de renteswap is vier jaar (9 jaar – 5 jaar).

Vergelijking van de Macaulay-duur en de gewijzigde duur

Omdat de Macaulay duration meet het gewogen gemiddelde tijd die een belegger moet een obligatie tot de contante waarde van de obligatie stroomt gelijk is aan het bedrag dat voor de obligatie bedrag te houden, wordt het vaak gebruikt door binding managers op zoek naar obligatieportefeuille risico te beheren immunisatie strategieën.

De gewijzigde duration daarentegen geeft aan hoeveel de duration verandert voor elke procentuele verandering in het rendement, terwijl wordt gemeten hoeveel een verandering in de rentetarieven de prijs van een obligatie beïnvloedt. De gewijzigde duration kan dus een risicomaatstaf vormen voor obligatiebeleggers door te benaderen hoeveel de prijs van een obligatie zou kunnen dalen bij een stijging van de rentetarieven. Het is belangrijk op te merken dat obligatiekoersen en rentetarieven een  omgekeerde relatie  met elkaar hebben.