24 juni 2021 8:30

Het binominale model opsplitsen om een ​​optie te waarderen

In de financiële wereld zijn de Black-Scholes en de binominale optiewaarderingsmodellen twee van de belangrijkste concepten in de moderne financiële theorie. Beide worden gebruikt om een optie te  waarderen, en elk heeft zijn eigen voor- en nadelen.

Enkele van de basisvoordelen van het gebruik van het binominale model zijn:

  • Een weergave van meerdere perioden
  • Transparantie
  • Mogelijkheid om kansen op te nemen

In dit artikel zullen we de voordelen onderzoeken van het gebruik van het binominale model in plaats van het Black-Scholes-model en enkele basisstappen geven om het model te ontwikkelen en uit te leggen hoe het wordt gebruikt. 

Weergave met meerdere perioden

Het binominale model biedt een weergave van meerdere perioden van zowel de prijs van de onderliggende activa als de prijs van de optie. In tegenstelling tot het Black-Scholes-model, dat een numeriek resultaat geeft op basis van inputs, biedt het binominale model de mogelijkheid om het activum te berekenen en de optie voor meerdere perioden samen met het bereik van mogelijke resultaten voor elke periode (zie hieronder).

Het voordeel van deze weergave met meerdere perioden is dat de gebruiker de verandering in activaprijs van periode tot periode kan visualiseren en de optie kan evalueren op basis van beslissingen die op verschillende tijdstippen zijn genomen. Voor een in de VS gevestigde optie, die op elk moment vóór de expiratiedatum kan worden uitgeoefend, kan het binominale model inzicht geven in wanneer uitoefening van de optie wenselijk is en wanneer deze voor langere periodes moet worden aangehouden. Door naar de binominale waardenboom te kijken, kan een handelaar van tevoren bepalen wanneer een beslissing over een oefening kan plaatsvinden. Als de optie een positieve waarde heeft, is er de mogelijkheid om uit te oefenen, terwijl als de optie een waarde heeft die lager is dan nul, deze voor langere periodes moet worden aangehouden.

Transparantie

Nauw verwant aan de evaluatie over meerdere perioden is het vermogen van het binominale model om transparantie te bieden over de onderliggende waarde van het actief en de optie naarmate de tijd vordert. Het Black-Scholes-model heeft vijf ingangen:

  1. De risicovrije rente
  2. De uitoefenprijs
  3. De huidige prijs van het activum
  4. Tijd tot volwassenheid
  5. De impliciete volatiliteit van de activaprijs

Wanneer deze datapunten in een Black-Scholes-model worden ingevoerd, berekent het model een waarde voor de optie, maar de effecten van deze factoren worden niet per periode onthuld. Met het binominale model kan een handelaar de verandering in de onderliggende activaprijs van periode tot periode en de overeenkomstige verandering in de optieprijs zien. 

Kansen opnemen

De basismethode voor het berekenen van het binominale optiemodel is om elke periode dezelfde kans op succes en mislukking te gebruiken totdat de optie afloopt. Een handelaar kan echter voor elke periode verschillende kansen opnemen op basis van nieuwe informatie die in de loop van de tijd wordt verkregen.

Er kan bijvoorbeeld een kans van 50/50 zijn dat de onderliggende activaprijs in één periode met 30 procent kan stijgen of dalen. Voor de tweede periode kan de kans dat de onderliggende activaprijs zal stijgen echter toenemen tot 70/30. Als een investeerder bijvoorbeeld een oliebron beoordeelt, weet die investeerder niet zeker wat de waarde van die oliebron is, maar is er een kans van 50/50 dat de prijs zal stijgen. Als de olieprijzen in periode 1 stijgen, waardoor de oliebron waardevoller wordt en de marktfundamenten nu wijzen op aanhoudende stijgingen van de olieprijzen, kan de kans op verdere prijsstijging nu 70 procent zijn. Het binominale model maakt deze flexibiliteit mogelijk; het Black-Scholes-model niet.

Het model ontwikkelen

Het eenvoudigste binominale model heeft twee verwachte rendementen waarvan de kansen oplopen tot 100 procent. In ons voorbeeld zijn er op elk moment twee mogelijke uitkomsten voor de oliebron. Een complexere versie kan drie of meer verschillende uitkomsten hebben, waarvan elk een waarschijnlijkheid krijgt.

Om de rendementen per periode te berekenen vanaf tijdstip nul (nu), moeten we de waarde van de onderliggende waarde over een periode bepalen. In dit voorbeeld gaan we uit van het volgende:

  • Prijs van onderliggende waarde (P): $ 500
  • Uitoefenprijs calloptie (K): $ 600
  • Risicovrije rente voor de periode: 1 procent
  • Prijswijziging elke periode: 30 procent omhoog of omlaag

De prijs van de onderliggende waarde is $ 500 en kan in periode 1 $ 650 of $ 350 waard zijn. Dat zou het equivalent zijn van een toename of afname van 30 procent in één periode. Aangezien de uitoefenprijs van de call-opties die we aanhouden $ 600 is, zou de waarde van de call-optie nul zijn als de onderliggende waarde minder dan $ 600 zou bedragen. Als de onderliggende waarde daarentegen de uitoefenprijs van $ 600 overschrijdt, is de waarde van de calloptie het verschil tussen de prijs van de onderliggende waarde en de uitoefenprijs. De formule voor deze berekening is [max (PK), 0]. 

Stel dat er een kans van 50 procent is om omhoog te gaan en een kans van 50 procent om te dalen. Als we de waarden van Periode 1 als voorbeeld gebruiken, wordt dit berekend als

max. hoogte⁡
​meenx[($650-$600),0]∗0.5+meenx[($350-$600),0]∗0.5=$50∗0.5+$0=$25​

Om de huidige waarde van de call-optie te krijgen, moeten we de $ 25 in periode 1 terugbrengen naar periode 0, dat wil zeggen

U kunt nu zien dat als de kansen worden gewijzigd, de verwachte waarde van de onderliggende waarde ook verandert. Als de waarschijnlijkheid moet worden gewijzigd, kan deze ook voor elke volgende periode worden gewijzigd en hoeft deze niet noodzakelijk overal hetzelfde te blijven.

Het binominale model kan eenvoudig worden uitgebreid tot meerdere perioden. Hoewel het Black-Scholes-model het resultaat van een verlengde vervaldatum kan berekenen, breidt het binominale model de beslissingspunten uit naar meerdere perioden.

Gebruikt voor het binominale model

Naast het gebruik als methode voor het berekenen van de waarde van een optie, kan het binominale model ook worden gebruikt voor projecten of investeringen met een hoge mate van onzekerheid, beslissingen over kapitaalbudgettering en toewijzing van middelen, en projecten met meerdere perioden of een ingesloten optie om het project op bepaalde tijdstippen voort te zetten of te verlaten.

Een eenvoudig voorbeeld is een project waarbij naar olie wordt geboord. De onzekerheid van dit soort projecten of het land dat wordt geboord überhaupt olie bevat, de hoeveelheid olie die kan worden geboord, of de olie wordt gevonden en de prijs waartegen de olie kan worden verkocht nadat deze is gewonnen. 

Het binominale optiemodel kan helpen bij het nemen van beslissingen op elk punt van het olieboorproject. Stel dat we besluiten om te boren, maar de oliebron zal alleen winstgevend zijn als we voldoende olie vinden en de olieprijs een bepaald bedrag overschrijdt. Het duurt een volledige periode om te bepalen hoeveel olie we kunnen winnen en wat de olieprijs op dat moment is. Na de eerste periode (bijvoorbeeld een jaar) kunnen we op basis van deze twee gegevenspunten beslissen of we doorgaan met boren of het project verlaten. Deze beslissingen kunnen continu worden genomen totdat een punt wordt bereikt waarop het boren niet zinvol is, waarna de put zal worden verlaten.

Het komt neer op

Het binominale model geeft een meer gedetailleerd beeld door meerdere perioden te bekijken van de prijs van de onderliggende activa en de prijs van de optie voor meerdere perioden, evenals het bereik van mogelijke resultaten voor elke periode. Hoewel zowel het Black-Scholes-model als het binominale model kunnen worden gebruikt om opties te waarderen, heeft het binominale model een breder scala aan toepassingen, is het intuïtiever en gemakkelijker te gebruiken.

 

Related Posts