Het Black-Scholes-model, ook wel bekend als het Black-Scholes-Merton-model (BSM), is een wiskundig model voor de prijsbepaling van een optiecontract. In het bijzonder schat het model de variatie in de tijd van financiële instrumenten.
Belangrijkste leerpunten
Het Black-Scholes Merton (BSM) -model is een differentiaalvergelijking die wordt gebruikt om optieprijzen op te lossen.
Black-Scholes-model won de Nobelprijs voor economie.
Het standaard BSM-model wordt alleen gebruikt om Europese opties te prijzen, aangezien er geen rekening mee wordt gehouden dat Amerikaanse opties kunnen worden uitgeoefend vóór de vervaldatum.
Inzicht in het Black Scholes-model
Het Black-Scholes-model is een van de belangrijkste concepten in de moderne financiële theorie. Het werd in 1973 ontwikkeld door Fischer Black, Robert Merton en Myron Scholes en wordt nog steeds veel gebruikt. Het wordt beschouwd als een van de beste manieren om de eerlijke prijs van opties te bepalen. Het Black-Scholes-model vereist vijf invoervariabelen: de uitoefenprijs van een optie, de huidige aandelenkoers, de tijd tot expiratie, de risicovrije rente en de volatiliteit.
Ook wel Black-Scholes-Merton (BSM) genoemd, het was het eerste veelgebruikte model voor optieprijzen. Het wordt gebruikt om de theoretische waarde van opties te berekenen aan de hand van de huidige aandelenkoersen, verwachte dividenden, de uitoefenprijs van de optie, verwachte rentetarieven, vervaltijd en verwachte volatiliteit.
De oorspronkelijke vergelijking werd geïntroduceerd in het artikel van Black and Scholes uit 1973, “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, gepubliceerd in het Journal of Political Economy. Black stierf twee jaar voordat Scholes en Merton de Nobelprijs voor de economie van 1997 ontvingen voor hun werk bij het vinden van een nieuwe methode om de waarde van derivaten te bepalen.(De Nobelprijs wordt niet postuum toegekend; het Nobelcomité erkende echter de rol van Black in het Black-Scholes-model.)
Black-Scholes stelt dat instrumenten, zoals aandelen of futures-contracten, een lognormale prijsverdeling zullen hebben na een willekeurige wandeling met constante drift en volatiliteit. Door gebruik te maken van deze aanname en rekening te houden met andere belangrijke variabelen, leidt de vergelijking de prijs af van een calloptie in Europese stijl.
De input voor de Black-Scholes-vergelijking zijn volatiliteit, de prijs van de onderliggende waarde, de uitoefenprijs van de optie, de tijd tot het verstrijken van de optie en de risicovrije rente. Met deze variabelen is het theoretisch mogelijk voor verkopers van opties om rationele prijzen vast te stellen voor de opties die ze verkopen.
Bovendien voorspelt het model dat de prijs van zwaar verhandelde activa een geometrische Brownse beweging volgt met constante drift en volatiliteit. Wanneer het op een aandelenoptie wordt toegepast, omvat het model de constante prijsvariatie van het aandeel, de tijdswaarde van geld, de uitoefenprijs van de optie en de tijd tot het verstrijken van de optie.
Black-Scholes Aannames
Het Black-Scholes-model gaat uit van bepaalde aannames:
De optie is Europees en kan alleen op expiratie worden uitgeoefend.
Gedurende de looptijd van de optie worden geen dividenden uitgekeerd.
Markten zijn efficiënt (dwz marktbewegingen kunnen niet worden voorspeld).
Er zijn geen transactiekosten verbonden aan het kopen van de optie.
De risicovrije rente en volatiliteit van de onderliggende waarde zijn bekend en constant.
De rendementen op de onderliggende waarde zijn log-normaal verdeeld.
Hoewel het oorspronkelijke Black-Scholes-model geen rekening hield met de effecten van dividenden die tijdens de looptijd van de optie werden uitgekeerd, wordt het model vaak aangepast om rekening te houden met dividenden door de ex-dividenddatumwaarde van de onderliggende aandelen te bepalen. Het model is ook aangepast door veel market makers die opties verkopen om rekening te houden met het effect van opties die kunnen worden uitgeoefend voordat ze vervallen. Als alternatief zullen bedrijven een trinominaal model of het Bjerksund-Stensland model gebruiken voor de prijsstelling van de meer algemeen verhandelde Amerikaanse stijlopties.
Black-Scholes-formule
De wiskunde die bij de formule betrokken is, is ingewikkeld en kan intimiderend zijn. Gelukkig hoef je de wiskunde niet te kennen of zelfs maar te begrijpen om Black-Scholes-modellering in je eigen strategieën te gebruiken. Handelaren in opties hebben toegang tot een verscheidenheid aan online optiecalculators, en veel van de huidige handelsplatforms beschikken over robuuste opties voor analyse van opties, inclusief indicatoren en spreadsheets die de berekeningen uitvoeren en de prijswaarden van opties uitvoeren.
De calloptieformule van Black-Scholes wordt berekend door de aandelenkoers te vermenigvuldigen met de cumulatieve standaard normale kansverdelingsfunctie. Daarna wordt de netto contante waarde (NCW) van de uitoefenprijs vermenigvuldigd met de cumulatieve standaard normale verdeling afgetrokken van de resulterende waarde van de vorige berekening.
In wiskundige notatie:
Volatiliteit scheef
Black-Scholes gaat ervan uit dat aandelenkoersen een lognormale verdeling volgen, omdat activaprijzen niet negatief kunnen zijn (ze zijn begrensd door nul). Dit staat ook bekend als een Gauss- distributie.
Vaak worden activaprijzen waargenomen met een aanzienlijke rechtse scheefheid en een zekere mate van kurtosis (dikke staarten). Dit betekent dat neerwaartse bewegingen met een hoog risico vaak vaker voorkomen in de markt dan een normale distributie voorspelt.
De aanname van lognormale onderliggende activaprijzen zou moeten aantonen dat de impliciete volatiliteit voor elke uitoefenprijs vergelijkbaar is volgens het Black-Scholes-model. Sinds de marktcrash van 1987 zijn de impliciete volatiliteit van at-the-money-opties echter lager dan die verder out of the money of ver in the money. De reden voor dit fenomeen is dat de markt een grotere kans op een hoge volatiliteit in de markten in prijs stelt.
Dit heeft geleid tot de aanwezigheid van de scheefheid in de vluchtigheid. Wanneer de impliciete vluchtigheden voor opties met dezelfde vervaldatum in een grafiek in kaart worden gebracht, is een glimlach of een scheefgetrokken vorm te zien. Het Black-Scholes-model is dus niet efficiënt voor het berekenen van de impliciete volatiliteit.
Beperkingen van het Black-Scholes-model
Zoals eerder vermeld, wordt het Black-Scholes-model alleen gebruikt om Europese opties te prijzen en houdt er geen rekening mee dat Amerikaanse opties kunnen worden uitgeoefend vóór de vervaldatum. Bovendien gaat het model ervan uit dat dividenden en risicovrije rentetarieven constant zijn, maar in werkelijkheid is dit misschien niet waar. Het model gaat er ook van uit dat de volatiliteit constant blijft gedurende de looptijd van de optie, wat niet het geval is omdat de volatiliteit fluctueert met het niveau van vraag en aanbod.
Daarnaast de andere veronderstellingen – dat er geen transactiekosten of belastingen zijn; dat de risicovrije rentevoet constant is voor alle looptijden; dat baissetransacties in effecten met gebruik van opbrengsten is toegestaan; en dat er geen risicovrije arbitragemogelijkheden zijn – kan leiden tot prijzen die afwijken van de werkelijke wereld waarin deze factoren aanwezig zijn.
Veel Gestelde Vragen
Wat doet het Black-Scholes-model?
Black-Scholes, ook bekend als Black-Scholes-Merton (BSM), was het eerste veelgebruikte model voor optieprijzen. Gebaseerd op de aanname dat instrumenten, zoals aandelen of futurescontracten, een lognormale prijsverdeling zullen hebben na een willekeurige wandeling met constante drift en volatiliteit, en rekening houdend met andere belangrijke variabelen, leidt de vergelijking de prijs af van een call in Europese stijl. keuze. Het doet dit door de netto contante waarde (NPV) van de uitoefenprijs af te trekken, vermenigvuldigd met de cumulatieve normale normale verdeling van het product van de aandelenkoers en de cumulatieve standaard normale kansverdelingsfunctie.
Wat zijn de ingangen voor het Black-Scholes-model?
De input voor de Black-Scholes-vergelijking zijn volatiliteit, de prijs van de onderliggende waarde, de uitoefenprijs van de optie, de tijd tot het verstrijken van de optie en de risicovrije rente. Met deze variabelen is het theoretisch mogelijk voor verkopers van opties om rationele prijzen vast te stellen voor de opties die ze verkopen.
Welke aannames doet het Black-Scholes-model?
Het Black-Scholes-model maakt bepaalde aannames. De belangrijkste daarvan is dat de optie Europees is en alleen kan worden uitgeoefend op de vervaldatum. Andere veronderstellingen zijn dat er geen dividenden worden uitgekeerd tijdens de looptijd van de optie; markten zijn efficiënt (dwz marktbewegingen kunnen niet worden voorspeld); dat er geen transactiekosten zijn bij het kopen van de optie; dat risicovrije rente en volatiliteit van de onderliggende waarde bekend en constant zijn; en dat het rendement op de onderliggende waarde log-normaal verdeeld is.
Wat zijn de beperkingen van het Black-Scholes-model?
Het Black-Scholes-model wordt alleen gebruikt om Europese opties te prijzen en houdt geen rekening met het feit dat Amerikaanse opties kunnen worden uitgeoefend vóór de vervaldatum. Bovendien gaat het model ervan uit dat dividenden en risicovrije rentetarieven constant zijn, maar in werkelijkheid is dit misschien niet waar. Het model gaat er ook van uit dat de volatiliteit constant blijft gedurende de looptijd van de optie, wat niet het geval is omdat de volatiliteit fluctueert met het niveau van vraag en aanbod.
Daarnaast de andere veronderstellingen – dat er geen transactiekosten of belastingen zijn; dat de risicovrije rentevoet constant is voor alle looptijden; dat baissetransacties in effecten met gebruik van opbrengsten is toegestaan; en dat er geen risicovrije arbitragemogelijkheden zijn – kan leiden tot prijzen die afwijken van de werkelijke wereld waarin deze factoren aanwezig zijn.
