Gebruik van gemeenschappelijke methoden voor de kansverdeling van aandelen

Kansverdeling tekenen

Vrijwel ongeacht uw mening over de voorspelbaarheid of efficiëntie van markten, zult u het er waarschijnlijk mee eens zijn dat gegarandeerde rendementen voor de meeste activa onzeker of riskant zijn. Als we de wiskunde die ten grondslag ligt aan kansverdelingen negeren, kunnen we zien dat het plaatjes zijn die een bepaalde kijk op onzekerheid beschrijven. De kansverdeling is een statistische berekening die de kans beschrijft dat een bepaalde variabele tussen of binnen een bepaald bereik op een plotgrafiek valt.

Onzekerheid verwijst naar willekeur. Het is iets anders dan een gebrek aan voorspelbaarheid of marktinefficiëntie. Een opkomend onderzoek stelt dat financiële markten zowel onzeker als voorspelbaar zijn. Markten kunnen ook efficiënt zijn, maar ook onzeker.

In de financiële sector gebruiken we waarschijnlijkheidsverdelingen om plaatjes te tekenen die onze kijk op de gevoeligheid van een activarendement illustreren wanneer we denken dat het activarendement als een willekeurige variabele kan worden beschouwd. In dit artikel bespreken we enkele van de meest populaire kansverdelingen en laten we u zien hoe u deze kunt berekenen.

Verdelingen kunnen worden gecategoriseerd als discreet of continu, en door of het een kansdichtheidsfunctie (PDF) of een cumulatieve verdeling is.

Discrete versus continue distributies

Discreet verwijst naar een willekeurige variabele die is getrokken uit een eindige reeks mogelijke uitkomsten. Een zeszijdige dobbelsteen heeft bijvoorbeeld zes afzonderlijke uitkomsten. Een continue distributie verwijst naar een willekeurige variabele die is getrokken uit een oneindige set. Voorbeelden van continue willekeurige variabelen zijn snelheid, afstand en sommige opbrengsten van activa. Een discrete willekeurige variabele wordt typisch geïllustreerd met stippen of streepjes, terwijl een continue variabele wordt geïllustreerd met een ononderbroken lijn. De onderstaande figuur toont discrete en continue verdelingen voor een normale verdeling met een gemiddelde (verwachte waarde) van 50 en een standaarddeviatie van 10:

De verdeling is een poging om onzekerheid in kaart te brengen. In dit geval is een uitkomst van 50 het meest waarschijnlijk, maar dit zal slechts ongeveer 4% van de tijd gebeuren; een uitkomst van 40 is één standaarddeviatie onder het gemiddelde en zal in iets minder dan 2,5% van de gevallen voorkomen.

Waarschijnlijkheidsdichtheid vs. cumulatieve verdeling

Het andere onderscheid is tussen de kansdichtheidsfunctie (PDF) en de cumulatieve verdelingsfunctie. De PDF is de kans dat onze willekeurige variabele een specifieke waarde bereikt (of, in het geval van een continue variabele, tussen een interval valt). We laten dat zien door de kans aan te geven dat een willekeurige variabele X  gelijk zal zijn aan een werkelijke waarde x:

De cumulatieve verdeling is de kans dat de willekeurige variabele X  kleiner is dan of gelijk is aan de werkelijke waarde x:

P.
​P[x<=X]​

of als uw lengte bijvoorbeeld een willekeurige variabele is met een verwachte waarde van 5’10 “inch (de gemiddelde lengte van uw ouders), dan is de pdf-vraag:” Wat is de kans dat u een lengte van 5’4 bereikt “? ” De corresponderende vraag van de cumulatieve verdelingsfunctie is: “Wat is de kans dat je kleiner bent dan 5’4”? “

Bovenstaande figuur liet twee normale verdelingen zien. U kunt nu zien dat dit grafieken van de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie (PDF) zijn. Als we exact dezelfde verdeling opnieuw plotten als een cumulatieve verdeling, krijgen we het volgende:

De cumulatieve verdeling moet uiteindelijk 1,0 of 100% op de y-as bereiken. Als we de lat hoog genoeg leggen, zullen op een gegeven moment vrijwel alle uitkomsten onder die lat vallen (we zouden kunnen zeggen dat de verdeling doorgaans asymptotisch is naar 1,0).

Financiën, een sociale wetenschap, is niet zo schoon als natuurwetenschappen. Zwaartekracht heeft bijvoorbeeld een elegante formule waarop we keer op keer kunnen vertrouwen. Rendementen van financiële activa kunnen daarentegen niet zo consistent worden gerepliceerd. Een duizelingwekkende hoeveelheid geld is in de loop der jaren verloren gegaan door slimme mensen die de nauwkeurige verdelingen (dwz alsof ze uit de natuurwetenschappen zijn afgeleid) verwarren met de rommelige, onbetrouwbare benaderingen die financiële opbrengsten proberen weer te geven. In de financiële wereld zijn kansverdelingen weinig meer dan ruwe afbeeldingen.

Uniforme verdeling

De eenvoudigste en meest populaire verdeling is de uniforme verdeling, waarbij alle uitkomsten een gelijke kans hebben om zich voor te doen. Een zeszijdige matrijs heeft een uniforme verdeling. Elke uitkomst heeft een waarschijnlijkheid van ongeveer 16,67% (1/6). Onze plot hieronder toont de ononderbroken lijn (zodat u het beter kunt zien), maar onthoud dat dit een discrete distributie is: u kunt niet 2.5 of 2.11 rollen:

Gooi nu twee dobbelstenen samen, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding, en de verdeling is niet langer uniform. Het piekt op zeven, wat toevallig een kans van 16,67% heeft. In dit geval zijn alle andere uitkomsten minder waarschijnlijk:

Gooi nu drie dobbelstenen samen, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding. We beginnen de effecten te zien van een zeer verbazingwekkende stelling: de centrale limietstelling. De centrale limietstelling belooft stoutmoedig dat de som of het gemiddelde van een reeks onafhankelijke variabelen normaal verdeeld zal raken, ongeacht hun eigen verdeling. Onze dobbelstenen zijn individueel uniform, maar combineren ze en – als we meer dobbelstenen toevoegen – zal hun som bijna magisch neigen naar de bekende normale verdeling.

Binominale distributie

De binominale verdeling weerspiegelt een reeks “of / of” -proeven, zoals een reeks tosses. Dit worden Bernoulli-onderzoeken genoemd – die verwijzen naar gebeurtenissen die slechts twee uitkomsten hebben – maar je hebt geen even (50/50) kansen nodig. De binominale verdeling hieronder zet een reeks van 10 tosses uit, waarbij de kans op koppen 50% (p-0,5) is. Je kunt in onderstaande figuur zien dat de kans om precies vijf koppen en vijf staarten om te draaien (volgorde maakt niet uit) slechts 25% is:

Als de binominale verdeling er normaal uitziet, heb je daar gelijk in. Naarmate het aantal onderzoeken toeneemt, neigt de binominale richting naar de normale verdeling.

Lognormale distributie

De lognormale verdeling is erg belangrijk in de financiële sector, omdat veel van de meest populaire modellen ervan uitgaan dat aandelenkoersen lognormaal worden verdeeld. Het rendement van activa is gemakkelijk te verwarren met prijsniveaus.

Het rendement van activa wordt vaak als normaal behandeld: een aandeel kan 10% stijgen of 10% dalen. Prijsniveaus worden vaak als log-normaal behandeld – een aandeel van $ 10 kan oplopen tot $ 30, maar niet tot – $ 10. De lognormale verdeling is niet-nul en scheef naar rechts (nogmaals, een aandeel kan niet onder nul komen, maar het heeft geen theoretische opwaartse limiet):

vergif

De Poisson-verdeling wordt gebruikt om de kans te beschrijven dat een bepaalde gebeurtenis (bijv. Een dagelijks verlies van een portefeuille van minder dan 5%) zich voordoet gedurende een tijdsinterval. In het onderstaande voorbeeld gaan we er dus van uit dat een bepaald operationeel proces een foutenpercentage van 3% heeft. We gaan verder uit van 100 willekeurige onderzoeken; de Poisson-verdeling beschrijft de kans op het krijgen van een bepaald aantal fouten over een bepaalde periode, zoals een enkele dag.

Student’s T

De T-verdeling van de student is ook erg populair omdat deze een iets “dikkere staart” heeft dan de normale verdeling. De T van de student wordt meestal gebruikt als onze steekproefomvang klein is (dwz minder dan 30). In de financiële sector vertegenwoordigt de linkerstaart de verliezen. Daarom, als de steekproefomvang klein is, durven we de kans op een groot verlies te onderschatten. De dikkere staart op de T van de student zal ons hier helpen. Toch komt het voor dat de fat tail van deze distributie vaak niet dik genoeg is. Financiële rendementen vertonen, in zeldzame catastrofale gevallen, de neiging om echt fat-tail verliezen te vertonen (dwz dikker dan voorspeld door de verdelingen). Door dit punt zijn grote sommen geld verloren gegaan.

Beta-distributie

Ten slotte is de bètadistributie (niet te verwarren met de bètaparameter in het prijsmodel voor kapitaalgoederen ) populair bij modellen die de herstelpercentages op obligatieportefeuilles schatten. De bèta-distributie is de utility-speler van distributies. Net als normaal heeft het slechts twee parameters nodig (alfa en bèta), maar ze kunnen worden gecombineerd voor opmerkelijke flexibiliteit. Vier mogelijke bèta-distributies worden hieronder geïllustreerd:

Het komt neer op

Zoals zoveel schoenen in onze statistische schoenenkast, proberen we de beste pasvorm voor de gelegenheid te kiezen, maar we weten niet echt wat voor weer het voor ons in petto heeft. We kunnen een normale verdeling kiezen en er dan achter komen dat het de linkerstaartverliezen onderschat; dus schakelen we over naar een scheve verdeling, alleen om te ontdekken dat de gegevens er in de volgende periode “normaler” uitzien. De elegante wiskunde eronder kan je ertoe brengen te denken dat deze distributies een diepere waarheid onthullen, maar het is waarschijnlijker dat het slechts menselijke artefacten zijn. Alle uitkeringen die we hebben beoordeeld, zijn bijvoorbeeld vrij soepel, maar sommige rendementen op activa springen onderbroken.

De normale distributie is alomtegenwoordig en elegant en vereist slechts twee parameters (gemiddelde en distributie). Veel andere verdelingen convergeren naar de normaal (bijv. Binominaal en Poisson). Veel situaties, zoals het rendement van hedgefondsen, kredietportefeuilles en ernstige verliesgebeurtenissen, verdienen echter niet de normale uitkeringen.