24 juni 2021 15:47

Hoe u waarderingsmodellen zoals Black-Scholes kunt bouwen

Het waarderen van opties kan een lastige zaak zijn. Beschouw het volgende scenario: in januari 2015  handelden de aandelen van calloptie  op het IBM-aandeel te kopen met een uitoefenprijs bij  geldautomaten  van $ 155, in de verwachting te profiteren van hoge rendementspercentages, gebaseerd op een kleine optiekost ( optiepremie ), vergeleken met de aankoop van aandelen met een hoge koopprijs.

Tegenwoordig zijn er een aantal verschillende kant-en-klare methoden beschikbaar om opties te waarderen – waaronder het  Black-Scholes-model  en het  binominale boommodel – die snelle antwoorden kunnen geven. Maar wat zijn de onderliggende factoren en de drijvende concepten om tot dergelijke waarderingsmodellen te komen? Kan iets soortgelijks worden voorbereid op basis van het concept van deze modellen?

Hier behandelen we de bouwstenen, onderliggende concepten en de factoren die kunnen worden gebruikt als raamwerk om een ​​waarderingsmodel voor een actief op te bouwen, zoals opties, waarbij we een zij-aan-zij vergelijking bieden met de oorsprong van de Black-Scholes (BS ) model.

Dit artikel is niet bedoeld om de aannames of andere factoren van het BS-model (dat een heel ander onderwerp is) ter discussie te stellen; Het is eerder bedoeld om het onderliggende concept van het Black-Scholes-model uit te leggen, samen met het idee van de ontwikkeling van waarderingsmodellen.

De wereld vóór Black-Scholes

Vóór Black-Scholes werd het op evenwicht gebaseerde Capital Asset Pricing Model (CAPM) op grote schaal gevolgd. Rendementen en risico’s werden met elkaar in evenwicht gehouden, op basis van de voorkeur van de belegger, dat wil zeggen dat een belegger met een hoog risico zou worden gecompenseerd met (het potentieel van) hogere rendementen in een vergelijkbare verhouding.

Het BS-model vindt zijn oorsprong in CAPM. Volgens Fischer Black: “Ik heb het Capital Asset Pricing Model toegepast op elk moment in het leven van een warrant, voor elke mogelijke aandelenkoers en warrantwaarde.”Helaas kon het CAPM niet voldoen aan de vereiste van warrant (optie) prijzen.

Black-Scholes blijft het eerste model, gebaseerd op het concept van arbitrage, waarbij een paradigmaverschuiving wordt gemaakt van op risico gebaseerde modellen (zoals CAPM). Deze nieuwe ontwikkeling van het BS-model verving het CAPM-aandelenrendementsconcept door de erkenning van het feit dat een perfect afgedekte positie een risicovrije rente oplevert. Dit nam de risico- en rendementsvariaties weg en vestigde het concept van arbitrage waarbij waarderingen worden uitgevoerd op basis van veronderstellingen van een risiconeutraal concept – een afgedekte (risicovrije) positie zou moeten leiden tot een risicovrij rendement.

De ontwikkeling van Black-Scholes

Laten we beginnen met het vaststellen van het probleem, het kwantificeren en een raamwerk ontwikkelen voor de oplossing ervan. We gaan verder met ons voorbeeld over het waarderen van de ATM-calloptie op IBM met een uitoefenprijs van $ 155 met een vervaldatum van één jaar.

Op basis van de basisdefinitie van een calloptie blijft de uitbetaling nul, tenzij de aandelenkoers het uitoefenprijsniveau bereikt. Na dat niveau stijgt de uitbetaling lineair (dwz een stijging van één dollar van de onderliggende waarde zal een uitbetaling van één dollar opleveren van de call-optie).

Ervan uitgaande dat de koper en de verkoper het eens zijn over een eerlijke waardering (inclusief nulprijs), is de theoretische eerlijke prijs voor deze calloptie:

  • Prijs van calloptie = $ 0, indien onderliggend <strike (rode grafiek)
  • Prijs van calloptie = (onderliggend — strike), indien onderliggend> = strike (blauwe grafiek)

Dit vertegenwoordigt de intrinsieke waarde van de optie en ziet er perfect uit vanuit het oogpunt van een koper van een calloptie. In de rode regio hebben zowel de koper als de verkoper een eerlijke waardering (nulprijs voor verkoper, nul uitbetaling voor koper). De waarderingsuitdaging begint echter met de blauwe regio, aangezien de koper het voordeel heeft van een positieve uitbetaling, terwijl de verkoper een verlies lijdt (op voorwaarde dat de onderliggende prijs boven de uitoefenprijs uitkomt). Dit is waar de koper een voordeel heeft ten opzichte van de verkoper met een nulprijs. De prijs moet niet nul zijn om de verkoper te compenseren voor het risico dat hij neemt.

In het eerste geval (rode grafiek) wordt in theorie een nulprijs ontvangen door de verkoper en is er geen uitbetalingspotentieel voor de koper (redelijk voor beide). In het laatste geval (blauwe grafiek) moet het verschil tussen de onderliggende waarde en de strike worden betaald door de verkoper aan de koper. Het risico van de verkoper strekt zich uit over de duur van een heel jaar. De onderliggende aandelenkoers kan bijvoorbeeld erg hoog oplopen (zeg maar $ 200 in vier maanden tijd) en de verkoper moet de koper het verschil van $ 45 betalen.

Het komt dus neer op:

  1. Zal de prijs van de onderliggende waarde de uitoefenprijs overschrijden?
  2. Zo ja, hoe hoog kan de onderliggende prijs gaan (aangezien dat de uitbetaling voor de koper bepaalt)?

Dit geeft het grote risico aan dat de verkoper neemt, wat leidt tot de vraag: waarom zou iemand zo’n telefoontje verkopen als ze niets krijgen voor het risico dat ze nemen?

Ons doel is om tot een enkele prijs te komen die de verkoper aan de koper moet aanrekenen, wat hem kan compenseren voor het totale risico dat hij over een jaar neemt – zowel in de regio voor nulbetaling (rood) als in de regio voor lineaire betaling (blauw). De prijs moet eerlijk en acceptabel zijn voor zowel koper als verkoper. Zo niet, dan zal degene die in het nadeel is wat betreft het betalen of ontvangen van een oneerlijke prijs niet deelnemen aan de markt en daarmee het doel van de handelsactiviteit tenietdoen. Het Black-Scholes-model streeft ernaar om deze eerlijke prijs vast te stellen door rekening te houden met constante prijsvariatie van het aandeel, de tijdswaarde van geld, de uitoefenprijs van de optie en de tijd tot het verstrijken van de optie. Laten we, vergelijkbaar met het BS-model, kijken hoe we dit kunnen benaderen om dit voor ons voorbeeld te evalueren met behulp van onze eigen methoden.

Hoe de intrinsieke waarde in de blauwe regio te evalueren?

Er zijn een aantal methoden beschikbaar om de verwachte prijsbeweging in de toekomst gedurende een bepaald tijdsbestek te voorspellen:

  • Men kan vergelijkbare prijsbewegingen van dezelfde duur in het recente verleden analyseren. De historische slotkoers van IBM geeft aan dat de prijs in het afgelopen jaar (2 januari 2014 tot 31 december 2014) is gedaald van $ 185,53 naar $ 160,44, een daling van 13,5%.  Kunnen we een prijsbeweging van -13,5% voor IBM concluderen?
  • Een verdere gedetailleerde controle geeft aan dat het een jaarlijks hoogtepunt van $ 199,21 (op 10 april 2014) en een jaarlijks dieptepunt van $ 150,5 (op 16 december 2014) bereikte. Gebaseerd op de startdag, 2 januari 2014, en de slotkoers van $ 185,53, varieert de procentuele verandering van + 7,37% tot -18,88%. Nu ziet het variatiebereik er veel breder uit in vergelijking met de eerder berekende afname van 13,5%.

Soortgelijke analyses en observaties van historische gegevens kunnen worden uitgevoerd. Laten we, om de ontwikkeling van ons prijsmodel voort te zetten, deze eenvoudige methodologie aannemen om toekomstige prijsvariaties te meten.

Stel dat IBM elk jaar 10% stijgt (op basis van de historische gegevens van de afgelopen 20 jaar). Basisstatistieken geven aan dat de kans dat de IBM-aandelenkoers schommelt rond + 10% veel hoger zal zijn dan de kans dat de IBM-prijs met 20% of 30% stijgt, ervan uitgaande dat historische patronen zich herhalen. Door vergelijkbare historische gegevenspunten met waarschijnlijkheidswaarden te verzamelen, kan een algemeen verwacht rendement op de aandelenkoers van IBM in een tijdsbestek van een jaar worden berekend als een gewogen gemiddelde van kansen en bijbehorende rendementen. Stel dat historische prijsgegevens van IBM de volgende bewegingen aangeven:

  • (-10%) in 25% van de gevallen,
  • + 10% in 35% van de gevallen,
  • + 15% in 20% van de gevallen,
  • + 20%  in 10% van de gevallen,
  • + 25% in 5% van de gevallen en
  • (-15%) in 5% van de gevallen.

Daarom komt het gewogen gemiddelde (of de verwachte waarde) neer op:

(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 15% * 5%) / 100% = 6,5%

Dat wil zeggen, gemiddeld wordt verwacht dat de prijs van het IBM-aandeel over een jaar voor elke dollar + 6,5% zal terugkeren. Als iemand het IBM-aandeel koopt met een horizon van één jaar en een koopprijs van $ 155, kan men een nettorendement van 155 * 6,5% = $ 10,075 verwachten.

Dit is echter voor de voorraadteruggave. We moeten zoeken naar vergelijkbare verwachte rendementen voor de call-optie.

Op basis van nul uitbetaling van de call onder de uitoefenprijs (bestaande $ 155 – ATM-call), zullen alle negatieve bewegingen nul uitbetalingen genereren, terwijl alle positieve bewegingen boven de uitoefenprijs een gelijkwaardige uitbetaling zullen genereren. Het verwachte rendement voor de call-optie zal dus zijn:

 ( -0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 0 % * 5%) / 100% = 9,75%

Dat wil zeggen, voor elke $ 100 die wordt geïnvesteerd in het kopen van deze optie, kan men $ 9,75 verwachten (op basis van de bovenstaande aannames).

Dit blijft echter nog steeds beperkt tot de reële waardering van het intrinsieke bedrag van de optie en geeft niet correct het risico weer dat de optieverkoper draagt ​​voor de hoge schommelingen die in de tussentijd kunnen optreden (in het geval van bovengenoemde intrayear high en low prijzen). Welke prijs kan naast de intrinsieke waarde door de koper en de verkoper worden afgesproken, zodat de verkoper eerlijk wordt gecompenseerd voor het risico dat hij overneemt in het tijdsbestek van een jaar?

Deze schommelingen kunnen sterk variëren en de verkoper kan zijn eigen interpretatie hebben van hoeveel hij ervoor gecompenseerd wil worden. Het Black-Scholes-model gaat uit van opties van het Europese type, dwz geen uitoefening vóór de vervaldatum. Het blijft dus onaangetast door tussenliggende prijsschommelingen en baseert zijn waardering op end-to-end handelsdagen.

In de dagelijkse handel speelt deze volatiliteit een belangrijke rol bij het bepalen van de optieprijzen. De blauwe uitbetalingsfunctie die we vaak zien, is eigenlijk de uitbetaling op de vervaldatum. Realistisch gezien is de optieprijs (roze grafiek) altijd hoger dan de uitbetaling (blauwe grafiek), wat de prijs aangeeft die de verkoper heeft genomen om zijn risicovolle vaardigheden te compenseren. Daarom wordt de optieprijs ook wel de optie “premie” genoemd, wat in wezen de risicopremie aangeeft.

Dit kan worden opgenomen in ons waarderingsmodel, afhankelijk van hoeveel volatiliteit wordt verwacht in de aandelenkoers en hoeveel verwachte waarde dat zou opleveren.

Het Black-Scholes-model doet het efficiënt (uiteraard binnen zijn eigen aannames) als volgt:

Het BS-model gaat uit van een lognormale verdeling van de koersbewegingen van de aandelen, wat het gebruik van N (d1) en N (d2) rechtvaardigt. 

  • In het eerste deel geeft S de huidige prijs van de voorraad aan. 
  • N (d1) geeft de waarschijnlijkheid aan van de huidige koersbeweging van aandelen.

Als deze optie in-the-money gaat, waardoor de koper deze optie kan uitoefenen, krijgt hij één aandeel van de onderliggende IBM-aandelen. Als de handelaar het vandaag uitoefent, vertegenwoordigt de S * N (d1) de huidige verwachte waarde van de optie.

In het tweede deel geeft X de uitoefenprijs aan.

  • N (d2) geeft de kans weer dat de aandelenkoers hoger is dan de uitoefenprijs.
  • Dus X * N (d2) vertegenwoordigt de verwachte waarde van de aandelenkoers die boven  de uitoefenprijs blijft.

Aangezien het Black-Scholes-model uitgaat van opties in Europese stijl waarbij oefening alleen aan het einde mogelijk is, moet de verwachte waarde die hierboven wordt weergegeven door X * N (d2) worden verdisconteerd met de tijdswaarde van geld. Daarom wordt het laatste deel vermenigvuldigd met een exponentiële termijn die gedurende de tijdsperiode wordt verhoogd tot de rentevoet.

Het netto verschil tussen de twee termen geeft de prijswaarde van de optie aan vanaf vandaag (waarbij de tweede termijn wordt verdisconteerd)

In ons kader kunnen dergelijke prijsbewegingen op verschillende manieren nauwkeuriger worden opgenomen:

  • Verdere verfijning van de berekeningen van het verwachte rendement door het bereik uit te breiden naar fijnere intervallen met prijsbewegingen in de loop van de dag / binnen het jaar 
  • Opname van actuele marktgegevens, aangezien deze de huidige activiteit weerspiegelen (vergelijkbaar met impliciete volatiliteit )
  • Verwachte rendementen op de vervaldatum, die kunnen worden verdisconteerd tot op de dag van vandaag voor realistische taxaties en verder kunnen worden verlaagd van de huidige waarde

We zien dus dat er geen limiet is aan aannames, methodologieën en maatwerk die moeten worden geselecteerd voor kwantitatieve analyse. Afhankelijk van het te verhandelen activum of de te overwegen investering kan er aan een zelfontwikkeld model worden gewerkt. Het is belangrijk op te merken dat de volatiliteit van prijsbewegingen van verschillende activaklassen sterk varieert – aandelen  vertonen een scheve volatiliteit, forex hebben een  frons op de volatiliteit – en gebruikers zouden de toepasselijke volatiliteitspatronen in hun modellen moeten opnemen. Aannames en nadelen zijn een integraal onderdeel van elk model en een deskundige toepassing van modellen in reële handelsscenario’s kan betere resultaten opleveren.

Het komt neer op

Nu complexe activa de markten betreden of zelfs gewone activa die in complexe handelsvormen terechtkomen, worden kwantitatieve modellering en analyse verplicht voor waardering. Helaas kent geen enkel wiskundig model een aantal nadelen en aannames. De beste benadering is om de aannames tot een minimum te beperken en u bewust te zijn van de impliciete nadelen, die kunnen helpen bij het trekken van de lijnen over het gebruik en de toepasbaarheid van de modellen.

 

Related Posts