Lognormale en normale distributie
De wiskunde achter financiën kan een beetje verwarrend en vervelend zijn. Gelukkig doen de meeste computerprogramma’s complexe berekeningen. Het begrijpen van de verschillende statistische termen en methoden, hun betekenis en welke investeringen het beste worden geanalyseerd, is echter cruciaal bij het kiezen van de juiste beveiliging en het verkrijgen van de gewenste impact op een portefeuille.
Een belangrijke beslissing is de keuze tussen normale en lognormale verdelingen, naar beide wordt vaak verwezen in de onderzoeksliteratuur. Voordat u een keuze maakt, moet u weten:
- Wat zij zijn
- Welke verschillen bestaan er tussen hen
- Hoe ze investeringsbeslissingen beïnvloeden
Normaal versus lognormaal
Zowel normale als lognormale verdelingen worden in de statistische wiskunde gebruikt om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis te beschrijven. Het omdraaien van een munt is een gemakkelijk te begrijpen voorbeeld van waarschijnlijkheid. Als u een munt 1000 keer omdraait, wat is dan de verdeling van de resultaten? Dat wil zeggen, hoe vaak zal het op kop of munt terechtkomen? Er is een kans van 50% dat het op kop of munt zal landen. Dit basisvoorbeeld beschrijft de waarschijnlijkheid en verdeling van resultaten.
Er zijn veel soorten verdelingen, waarvan er één de normale of klokcurve verdeling is.
Bij een normale verdeling valt 68% (34% + 34%) van de resultaten binnen één standaarddeviatie en 95% (68% + 13,5% + 13,5%) binnen twee standaarddeviaties. In het midden (het 0-punt in de bovenstaande afbeelding) zijn de mediaan (de middelste waarde in de set), de modus (de waarde die het vaakst voorkomt) en het gemiddelde ( rekenkundig gemiddelde ) allemaal hetzelfde.
De lognormale distributie verschilt op verschillende manieren van de normale distributie. Een groot verschil zit hem in de vorm: de normale verdeling is symmetrisch, terwijl de lognormale verdeling dat niet is. Omdat de waarden in een lognormale verdeling positief zijn, creëren ze een rechtse kromme.
Deze scheefheid is belangrijk om te bepalen welke verdeling geschikt is om te gebruiken bij de besluitvorming over investeringen. Een ander onderscheid is dat de waarden die worden gebruikt om een lognormale verdeling af te leiden, normaal verdeeld zijn.
Laten we het verduidelijken met een voorbeeld. Een belegger wil een verwachte toekomstige aandelenkoers weten. Omdat aandelen in een samengesteld tempo groeien, moeten ze een groeifactor gebruiken. Om mogelijke verwachte prijzen te berekenen, nemen ze de huidige aandelenkoers en vermenigvuldigen deze met verschillende rendementspercentages (dit zijn wiskundig afgeleide exponentiële factoren op basis van compounding ), waarvan wordt aangenomen dat ze normaal verdeeld zijn. Wanneer de belegger de opbrengsten continu samenvoegt, creëren ze een lognormale verdeling. Deze verdeling is altijd positief, zelfs als sommige rendementen negatief zijn, wat in een normale verdeling 50% van de tijd zal gebeuren. De toekomstige aandelenkoers zal altijd positief zijn omdat de aandelenkoersen niet onder $ 0 kunnen dalen.
Wanneer u normale versus logische normale distributie moet gebruiken
Het voorgaande voorbeeld heeft ons geholpen te komen tot wat echt belangrijk is voor investeerders: wanneer ze elke methode moeten gebruiken. Lognormaal is uitermate handig bij het analyseren van aandelenkoersen. Zolang wordt aangenomen dat de gebruikte groeifactor normaal verdeeld is (zoals we aannemen met het rendement), is de lognormale verdeling logisch. Normale distributie kan niet worden gebruikt om aandelenkoersen te modelleren, omdat het een negatieve kant heeft en de aandelenkoersen niet onder nul kunnen dalen.
Een ander soortgelijk gebruik van de lognormale distributie is met de prijsstelling van opties. Het Black-Scholes model – dat wordt gebruikt om opties te prijzen – gebruikt de lognormale verdeling als basis om optieprijzen te bepalen.
Omgekeerd werkt normale distributie beter bij het berekenen van het totale portefeuillerendement. De normale verdeling wordt gebruikt omdat het gewogen gemiddelde rendement (het product van het gewicht van een effect in een portefeuille en het rendement ervan) nauwkeuriger is bij het beschrijven van het werkelijke portefeuillerendement (positief of negatief), vooral als de wegingen variëren met een grote mate. Het volgende is een typisch voorbeeld:
Hoewel het lognormale rendement voor de totale prestaties van de portefeuille over een langere periode sneller kan worden berekend, slaagt het er niet in om de individuele aandelengewichten vast te leggen, wat het rendement enorm kan vertekenen. Portefeuillerendementen kunnen ook positief of negatief zijn, en een lognormale verdeling zal de negatieve aspecten niet vangen.
Het komt neer op
Hoewel de nuances die normale en lognormale distributies onderscheiden ons meestal kunnen ontgaan, zal kennis van het uiterlijk en de kenmerken van elke distributie inzicht verschaffen in hoe portefeuillerendementen en toekomstige aandelenkoersen gemodelleerd kunnen worden.