Een bepaalde gemiddelde verandering van de prijs van een aandeel kan dagelijks 1,5% bedragen, wat betekent dat deze gemiddeld 1,5% stijgt. Deze gemiddelde waarde of verwachte waarde die het rendement aangeeft, kan worden verkregen door het gemiddelde te berekenen op basis van een gegevensset die groot genoeg is en die historische dagelijkse prijsveranderingen van dat aandeel bevat. Hoe hoger het gemiddelde, hoe beter.
Standaardafwijking
Standaarddeviatie geeft aan met hoeveel waarden de waarden gemiddeld afwijken van het gemiddelde. Hoe hoger de standaarddeviatie, hoe risicovoller de investering, omdat dit tot meer onzekerheid leidt.
Hier is een grafische weergave van hetzelfde:
Daarom maakt de grafische weergave van de normale verdeling door middel van zijn gemiddelde en standaarddeviatie de weergave mogelijk van zowel het rendement als het risico binnen een duidelijk gedefinieerd bereik.
Het helpt te weten (en met zekerheid te zijn) dat als een dataset het normale distributiepatroon volgt, het gemiddelde ons in staat zal stellen te weten wat we kunnen verwachten, en de standaarddeviatie zal ons in staat stellen te weten dat ongeveer 68% van de waarden valt binnen 1 standaarddeviatie, 95% binnen 2 standaarddeviaties en 99% van de waarden valt binnen 3 standaarddeviaties. Een dataset met een gemiddelde van 1,5 en een standaarddeviatie van 1 is veel risicovoller dan een andere dataset met een gemiddelde van 1,5 en een standaarddeviatie van 0,1.
Als u deze waarden voor elk geselecteerd activum (dwz aandelen, obligaties en fondsen) kent, wordt een belegger bewust van de verwachte rendementen en risico’s.
Het is gemakkelijk om dit concept toe te passen en het risico en rendement van één aandeel, obligatie of fonds weer te geven. Maar kan dit worden uitgebreid naar een portefeuille met meerdere activa?
Individuen beginnen met handelen door één aandeel of obligatie te kopen of te beleggen in een beleggingsfonds. Geleidelijk aan hebben ze de neiging om hun bezit te vergroten en meerdere aandelen, fondsen of andere activa te kopen, waardoor ze een portefeuille creëren. In dit incrementele scenario bouwen individuen hun portefeuilles op zonder een strategie of veel voorzorg. Professionele fondsbeheerders, handelaren en marktmakers volgen een systematische methode om hun portefeuille op te bouwen met behulp van een wiskundige benadering die moderne portefeuilletheorie (MPT) wordt genoemd en die is gebaseerd op het concept van ‘normale distributie’.
Modern Portfolio Theory
Moderne portefeuilletheorie (MPT) biedt een systematische wiskundige benadering die tot doel heeft het verwachte rendement van een portefeuille voor een bepaald portefeuillerisico te maximaliseren door de verhoudingen van verschillende activa te selecteren. Als alternatief biedt het ook om het risico te minimaliseren voor een bepaald niveau van verwacht rendement.
Om dit doel te bereiken, moeten de activa die in de portefeuille worden opgenomen, niet alleen worden geselecteerd op basis van hun eigen individuele verdiensten, maar in plaats daarvan op hoe elk actief zal presteren ten opzichte van de andere activa in de portefeuille.
Kort samengevat, MPT definieert hoe de portefeuille het beste kan worden gediversifieerd voor de best mogelijke resultaten: maximaal rendement voor een aanvaardbaar risiconiveau of minimaal risico voor een gewenst rendementsniveau.
De bouwstenen
De MPT was zo’n revolutionair concept toen het werd geïntroduceerd dat zijn uitvinders een Nobelprijs wonnen. Deze theorie leverde met succes een wiskundige formule op om diversificatie bij het beleggen te begeleiden.
Diversificatie is een techniek voor risicobeheer die het risico van “alle eieren in één mandje” wegneemt door te beleggen in niet-gecorreleerde aandelen, sectoren of activaklassen. Idealiter zal de positieve prestatie van een actief in de portefeuille de negatieve prestatie van andere activa teniet doen.
Om het gemiddelde rendement van de portefeuille met n verschillende activa te nemen, wordt de proportioneel gewogen combinatie van de rendementen van de samenstellende activa berekend.
Vanwege de aard van statistische berekeningen en normale verdeling, wordt het totale portefeuillerendement (R p ) berekend als:
De som (∑), waarbij w i het evenredige gewicht is van activum i in de portefeuille, R i is het rendement (gemiddelde) van activum i.
Het portefeuillerisico (of standaarddeviatie) is een functie van de correlaties van de opgenomen activa, voor alle activaparen (met betrekking tot elkaar in het paar).
Vanwege de aard van statistische berekeningen en normale verdeling, wordt het totale portefeuillerisico (Std-dev) p berekend als:
(Std-dev)p=sqrt
(Std-dev)p=sqrt[ik∑j∑wikwj(std-dev)ik(std-dev)j(cor-cofikj)]
Hier is cor-cof de correlatiecoëfficiënt tussen opbrengsten van activa i en j, en sqrt is de vierkantswortel.
Dit zorgt voor de relatieve prestaties van elk actief ten opzichte van het andere.
Hoewel dit wiskundig ingewikkeld lijkt, omvat het eenvoudige concept dat hier wordt toegepast niet alleen de standaarddeviaties van individuele activa, maar ook de gerelateerde ten opzichte van elkaar.
Een goed voorbeeld is hier beschikbaar van de Universiteit van Washington.
Een snel voorbeeld van MPT
Laten we ons bij wijze van gedachte-experiment voorstellen dat we een portefeuillemanager zijn die kapitaal heeft gekregen en de opdracht krijgt hoeveel kapitaal moet worden toegewezen aan twee beschikbare activa (A & B), zodat het verwachte rendement wordt gemaximaliseerd en het risico wordt verlaagd.
We hebben ook de volgende waarden beschikbaar:
R a = 0,175
R b = 0,055
(Std-dev) a = 0,258
(Std-dev) b = 0,115
(Std-dev) ab = -0,004875
(Cor-cof) ab = -0,164
Beginnend met een gelijke toewijzing van 50-50 aan elk activum A en B, wordt de R p berekend tot 0,115 en komt (Std-dev) p tot 0,1323. Een eenvoudige vergelijking leert ons dat voor deze 2 activaportefeuille zowel het rendement als het risico halverwege tussen de individuele waarden van elk activum ligt.
Ons doel is echter om het rendement van de portefeuille te verbeteren boven het gemiddelde van een van beide individuele activa en om het risico te verkleinen, zodat het lager is dan dat van de individuele activa.
Laten we nu een positie van 1,5 kapitaaltoewijzing nemen in activum A en een positie van -0,5 kapitaaltoewijzing in activum B. (Negatieve kapitaalallocatie betekent short gaan op die aandelen en het ontvangen kapitaal wordt gebruikt om het overschot van het andere activum te kopen met een positieve kapitaalallocatie. met andere woorden, we shorten voorraad B voor 0,5 keer kapitaal en gebruiken dat geld om voorraad A te kopen voor een bedrag van 1,5 keer kapitaal.)
Als we deze waarden gebruiken, krijgen we R p als 0,1604 en (Std-dev) p als 0,4005.
Evenzo kunnen we doorgaan met het gebruiken van verschillende allocatiegewichten voor activum A en B, en tot verschillende sets van Rp en (Std-dev) p komen. Afhankelijk van het gewenste rendement (Rp) kan men het meest acceptabele risiconiveau (std-dev) p kiezen. Als alternatief kan voor het gewenste risiconiveau het best beschikbare portefeuillerendement worden geselecteerd. Hoe dan ook, via dit wiskundige model van portefeuilletheorie is het mogelijk om aan de doelstelling te voldoen om een efficiënte portefeuille te creëren met de gewenste combinatie van risico en rendement.
Het gebruik van geautomatiseerde tools stelt iemand in staat om gemakkelijk en soepel de best mogelijke toegewezen verhoudingen gemakkelijk te detecteren, zonder dat er langdurige handmatige berekeningen nodig zijn.
De efficiënte grens, het Capital Asset Pricing Model (CAPM) en asset pricing met behulp van MPT evolueren ook vanuit hetzelfde normale distributiemodel en zijn een uitbreiding op MPT.
Uitdagingen voor MPT (en onderliggende normale distributie)
Helaas is geen enkel wiskundig model perfect en elk heeft tekortkomingen en beperkingen.
De basisaanname dat het rendement op aandelenkoersen de normale verdeling volgt, wordt keer op keer in twijfel getrokken. Er is voldoende empirisch bewijs van gevallen waarin waarden niet voldoen aan de veronderstelde normale verdeling. Het baseren van complexe modellen op dergelijke aannames kan leiden tot resultaten met grote afwijkingen.
Als we verder gaan met MPT, hoeven de berekeningen en aannames over de correlatiecoëfficiënt en de covariantie die vast blijven (op basis van historische gegevens), niet noodzakelijkerwijs te gelden voor toekomstige verwachte waarden. De obligatie- en aandelenmarkten vertoonden bijvoorbeeld een perfecte correlatie op de Britse markt van 2001 tot 2004, waar het rendement van beide activa tegelijkertijd daalde. In werkelijkheid is het omgekeerde waargenomen gedurende lange historische perioden vóór 2001.
In dit wiskundige model wordt geen rekening gehouden met het gedrag van beleggers. Belastingen en transactiekosten worden verwaarloosd, ook al wordt een fractionele kapitaaltoewijzing en de mogelijkheid van shorting van activa verondersteld.
In werkelijkheid kunnen geen van deze aannames kloppen, wat betekent dat de gerealiseerde financiële opbrengsten aanzienlijk kunnen verschillen van de verwachte winsten.
Het komt neer op
Wiskundige modellen bieden een goed mechanisme om sommige variabelen te kwantificeren met enkele, traceerbare getallen. Maar vanwege de beperkingen van aannames kunnen modellen mislukken.
De normale verdeling, die de basis vormt van de portefeuilletheorie, hoeft niet noodzakelijk van toepassing te zijn op aandelen en andere prijspatronen van financiële activa. De portefeuilletheorie bevat op zichzelf veel aannames die kritisch moeten worden onderzocht voordat belangrijke financiële beslissingen worden genomen.