Duur en convexiteit om het obligatierisico te meten

Wat zijn duur en convexiteit?

Duration en convexiteit zijn twee instrumenten die worden gebruikt om de risicoblootstelling van vastrentende beleggingen te beheersen. De duration meet de gevoeligheid van de obligatie voor renteschommelingen. Convexiteit heeft betrekking op de interactie tussen de prijs van een obligatie en het rendement ervan wanneer deze veranderingen in de rentetarieven ervaart.

Bij couponobligaties vertrouwen beleggers op een maatstaf die bekend staat als duration om de prijsgevoeligheid van een obligatie voor renteschommelingen te meten. Omdat een couponobligatie tijdens zijn looptijd een reeks betalingen verricht, hebben vastrentende beleggers manieren nodig om de gemiddelde looptijd van de beloofde cashflow van een obligatie te meten, om te dienen als een samenvattende statistiek van de effectieve looptijd van de obligatie. De duration maakt dit mogelijk, waardoor vastrentende beleggers de onzekerheid beter kunnen inschatten bij het beheren van hun portefeuilles.

Duur van een obligatie

In 1938 noemde de Canadese econoom Frederick Robertson Macaulay het concept van de effectieve looptijd de “duur” van de obligatie.  Hij stelde daarbij voor om deze duration te berekenen als het gewogen gemiddelde van de looptijd van elke coupon of hoofdsom die door de obligatie wordt gedaan. De duurformule van Macaulay is als volgt:

Looptijd in Fixed Income Management

De duration is van cruciaal belang voor het beheer van vastrentende portefeuilles, en wel om de volgende redenen:

1. Het is een eenvoudige samenvattende statistiek van de effectieve gemiddelde looptijd van een portefeuille.
2. Het is een essentieel instrument in het immuniseren van de portefeuilles van het renterisico.
3. Het schat de rentegevoeligheid van een portefeuille.

De metriek voor duur heeft de volgende eigenschappen:

• De looptijd van een nulcouponobligatie is gelijk aan de looptijd.
• Door de looptijd constant te houden, is de looptijd van een obligatie lager als de couponrente hoger is, vanwege de impact van vroegtijdige hogere couponbetalingen.
• Door de couponrente constant te houden, neemt de duration van een obligatie doorgaans toe met de looptijd tot de vervaldatum. Maar er zijn uitzonderingen, zoals bij instrumenten zoals obligaties met een hoge korting, waarbij de duration kan afnemen naarmate de looptijdschema’s toenemen.
• Door andere factoren constant te houden, is de duration van couponobligaties hoger wanneer het rendement van de obligaties tot de vervaldag lager is. Voor nulcouponobligaties is de looptijd echter gelijk aan de looptijd, ongeacht het rendement tot de vervaldatum.
• De duur van de oneindigheid van het niveau is (1 + y) / j. Bij een rendement van 10% is de duur van de eeuwigheid die jaarlijks $ 100 betaalt, gelijk aan 1,10 / 0,10 = 11 jaar. Bij een opbrengst van 8% is het echter gelijk aan 1,08 / 0,08 = 13,5 jaar. Dit principe maakt duidelijk dat looptijd en looptijd sterk kunnen verschillen. Voorbeeld: de looptijd van de eeuwigheid is oneindig, terwijl de looptijd van het instrument bij een rendement van 10% slechts 11 jaar is. De contante waarde gewogen kasstroom vroeg in de levensduur van de eeuwigheid domineert de durationberekening.

Duur voor gap-management

Veel banken vertonen mismatches tussen de looptijden van activa en passiva. Bankverplichtingen, voornamelijk deposito’s verschuldigd aan klanten, zijn over het algemeen kortlopend van aard, met statistieken van lage looptijd. De activa van een bank daarentegen bestaan ​​voornamelijk uit uitstaande zakelijke en consumentenleningen of hypotheken. Deze activa hebben doorgaans een langere looptijd en hun waarde is gevoeliger voor renteschommelingen. In perioden waarin de rentetarieven onverwachts stijgen, kunnen banken hun nettowaarde drastisch verminderen als hun activa verder in waarde dalen dan hun verplichtingen.

Een techniek die gap management wordt genoemd, is een veelgebruikt instrument voor risicobeheer, waarbij banken proberen de “kloof” tussen de looptijden van activa en passiva te verkleinen. Gapbeheer is sterk afhankelijk van hypotheken met verstelbare rente (ARM’s), als sleutelcomponenten bij het verkorten van de looptijd van bankactiva-portefeuilles. In tegenstelling tot conventionele hypotheken, dalen ARM’s niet in waarde wanneer de marktrente stijgt, omdat de rentetarieven die ze betalen gekoppeld zijn aan de huidige rentevoet.

Aan de andere kant van de balans, de invoering van langere termijn bank certificates of deposit (CD) met vastgestelde voorwaarden rendement, dienen om de duur van bancaire passiva verlengen eveneens bijdragen tot de vermindering van de duur gap.

Inzicht in gap-management

Banken passen gap-management toe om de looptijden van activa en passiva gelijk te stellen, waardoor hun algehele positie effectief wordt beschermd tegen renteschommelingen. In theorie zijn de activa en passiva van een bank ongeveer even groot. Daarom, als hun looptijden ook gelijk zijn, zal elke verandering in rentetarieven de waarde van activa en passiva in dezelfde mate beïnvloeden, en renteveranderingen zouden bijgevolg weinig of geen uiteindelijk effect hebben op het eigen vermogen. Daarom vereist nettowaarde-immunisatie een portfolioduur, of kloof, van nul.

Instellingen met toekomstige vaste verplichtingen, zoals pensioenfondsen en verzekeraars, onderscheiden zich van banken doordat zij opereren met het oog op toekomstige verplichtingen. Pensioenfondsen zijn bijvoorbeeld verplicht om voldoende middelen aan te houden om werknemers na hun pensionering van een inkomen te voorzien. Naarmate de rentetarieven fluctueren, veranderen ook de waarde van de activa die door het fonds worden aangehouden en de snelheid waarmee die activa inkomsten genereren. Het is daarom mogelijk dat portefeuillebeheerders de toekomstige geaccumuleerde waarde van het fonds op een bepaalde streefdatum willen beschermen (immuniseren) tegen renteschommelingen. Met andere woorden, immunisatie stelt activa en passiva met dezelfde looptijd veilig, zodat een bank aan haar verplichtingen kan voldoen, ongeacht renteschommelingen.

Convexiteit in Fixed Income Management

Helaas kent de duration beperkingen wanneer deze wordt gebruikt als maatstaf voor de rentegevoeligheid. Hoewel de statistiek een lineair verband berekent tussen prijs- en opbrengstveranderingen in obligaties, is de relatie tussen de prijsveranderingen en het rendement in werkelijkheid convex.

In de onderstaande afbeelding geeft de gebogen lijn de verandering in prijzen weer, gegeven een verandering in opbrengsten. De rechte lijn, die de curve raakt, vertegenwoordigt de geschatte prijsverandering via de statistiek over de duur. Het gearceerde gebied laat het verschil zien tussen de geschatte duur en de werkelijke prijsbeweging. Zoals aangegeven, hoe groter de verandering in rentetarieven, hoe groter de fout bij het schatten van de prijsverandering van de obligatie.

Convexiteit, een maatstaf voor de kromming van de veranderingen in de prijs van een obligatie, in relatie tot veranderingen in rentetarieven, verhelpt deze fout door de verandering in duration te meten wanneer de rentetarieven fluctueren. De formule is als volgt:

C=d2(B(r))B∗d∗r2where:C=convexityB=the bond pricer=the interest rated=duration\ begin {uitgelijnd} & C = \ frac {d ^ 2 \ left (B \ left (r \ right) \ right)} {B * d * r ^ 2} \\ & \ textbf {waarbij:} \\ & C = \ text {convexiteit} \\ & B = \ text {de obligatiekoers} \\ & r = \ text {de rentevoet} \\ & d = \ text {duur} \\ \ end {uitgelijnd}​C=B∗d∗r2

Over het algemeen geldt: hoe hoger de coupon, hoe lager de convexiteit, omdat een 5% -obligatie gevoeliger is voor renteschommelingen dan een 10% -obligatie. Vanwege de call-functie zullen opvraagbare obligaties een negatieve convexiteit vertonen als de rente te laag wordt, wat betekent dat de duration zal afnemen als de opbrengsten dalen. Obligaties met nulcoupon hebben de hoogste convexiteit, waarbij relaties alleen geldig zijn als de vergeleken obligaties dezelfde looptijd en rendementen tot de vervaldatum hebben. Opvallend: een obligatie met een hoge convexiteit is gevoeliger voor renteschommelingen en zou bijgevolg grotere prijsfluctuaties moeten meemaken wanneer de rente beweegt.

Het tegenovergestelde geldt voor obligaties met een lage convexiteit, waarvan de prijzen niet zo sterk fluctueren als de rentetarieven veranderen. Wanneer deze relatie in een tweedimensionale grafiek wordt getekend, zou deze een langwerpige U-vorm moeten genereren (vandaar de term “convex”).

Obligaties met een lage en nulcoupon, die doorgaans een lagere rente hebben, vertonen de hoogste volatiliteit van de rentetarieven. In technische termen betekent dit dat de aanpassing vereist om gelijke tred te houden met de hogere prijsverandering na rentebewegingen. Lagere couponrentes leiden tot lagere opbrengsten, en lagere opbrengsten leiden tot hogere mate van convexiteit.

Het komt neer op

De steeds veranderende rentetarieven zorgen voor onzekerheid bij het beleggen in vastrentende waarden. Met duration en convexiteit kunnen beleggers deze onzekerheid kwantificeren, waardoor ze hun vastrentende portefeuilles kunnen beheren.